随机过程Ch7 平稳过程的谱分析.ppt

《随机过程Ch7 平稳过程的谱分析.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第七章平稳过程的谱分析第七章平稳过程的谱分析平稳稳过程(X(t),t∈T}的相关函数RX(τ)在时间域上描述过程的统计特征;为描述平稳过程在频域上的统计特征,需要引进谱密度的概念.本章主要讨论平稳过程的谱密度及相关函数RX(τ)的谱分析.7.1平稳过程的谱密度谱密度的概念在平稳过程的理论和应用上都很重要.从数学上看,谱密度是相关函数的傅里叶变换,它的物理意义是功率谱密度.我们首先简要介绍普通时间函数x(t)的频谱、能谱密度的概念.设x(t)绝对可积,即

2、x(t)

3、dt＜∞,则x(t)的傅里叶变换存在,或者说x(t)具有频谱:2平稳过程的谱密度Fx(ω)=x(t)e-iωtdt.一般地,Fx(ω

4、)是复值函数,有Fx(-ω)=x(t)eiωtdt=Fx(ω).Fx(ω)傅氏反变换为x(t)=Fx(ω)eiωtdω.利用以上第一与第三式,可得x2(t)dt=x(t)Fx(ω)eiωtdωdt=Fx(ω)x(t)eiωtdtdω=Fx(ω)Fx(ω)dω.故x2(t)dt=

5、Fx(ω)

6、2dω.(☆)3平稳过程的谱密度(☆)式称为帕塞伐公式.若把x(t)看做是通过1Ω电阻上的电流或电压,则左边的积分表示消耗在1Ω电阻上的总能量,故右边的被积函数

7、Fx(ω)

8、2相应地称为能谱密度.帕塞伐公式即可看做总能量的谱表示式.实际问题中,大多数时间函数的总能量都是无限的,因而不能满足傅氏变换条件.为此

9、我们考虑平均功率及功率密度.作一截尾函数xT(t)=因为xT(t)有限,其傅氏变换存在,于是有Fx(ω,T)=xT(t)e-iωtdt=xT(t)e-iωtdt,Fx(ω,T)的傅氏反变换为xT(t)=Fx(ω,T)e-iωtdω.x(t),

10、t

11、≤T,0,

12、t

13、＞T.4平稳过程的谱密度根据(☆)式的帕塞伐公式,有x2T(t)dt=x2(t)dt=

14、Fx(ω,T)

15、2dω.故limx2(t)dt=lim

16、Fx(ω,T)

17、2dω=lim

18、Fx(ω,T)

19、2dω显然上式左边可以看做是x(t)消耗在1Ω电阻上的平均功率,相应地,称右边的被积函数lim

20、Fx(ω,T)

21、2为功率密度.以上讨论的是普通时

22、间的实质函数的频谱分析,对于随机过程{X(t),-∞

23、X(t)

24、2dt=

25、X(t)

26、2dt=

27、Fx(ω,T)

28、2dω.因为X(t)是随机过程,故上式两边都是随机变量,要求取平均值.这时不仅要对时间区间[-T,T]取平均,还要求概率意义下的统计平均,于是有limE[

29、X(t)

30、2dt]=limE[

31、Fx(ω,T)

32、2]dωx(t)

33、,

34、t

35、≤T,0,

36、t

37、＞T.T→∞T→∞6平稳过程的谱密度=limE[

38、Fx(ω,T)

39、2]dω.(◇)上式就是随机过程X(t)的平均功率和功率密度关系的表达式.于是有如下定义:定义7.1设{X(t),-∞

40、X(t)

41、2dt](★)为X(t)的平均功率.称sx(ω)=limE[

42、Fx(ω,T)

43、2](◆)为X(t)的功率谱密度,简称谱密度.当X(t)是均方连续平稳过程时,由于E

44、X(t)

45、2是与t无关的常数,利用均方积分性质可以将(★)式化简得T→∞T→∞T→∞7平稳过程的谱密度ψ2=limE[

46、X(t)

47、2dt]=limE[

48、X(t)

49、2dt

50、]=E[

51、X(t)

52、2]=RX(0).(◇)由(◇)式和(◇)式看出,平稳过程的平均功率等于该过程的均方值,或等于它的谱密度在频域上的积分,即ψ2=SX(ω)dω.该式是平稳过程X(t)的平均功率的频谱展开式,sX(ω)描述了各种频率成分所具有的能量大小.例7.1设有随机过程X(t)=acos(ω0t+Θ),a,ω0为常数,T→∞T→∞8平稳过程的谱密度在下列情况下,求X(t)的平均功率.(1)Θ是在(0,2π)上服从均匀分布的随机变量;(2)Θ是在(0,)上服从均匀分布的随机变量.解:(1)由第六章例6.9知,此时随机过程X(t)是平稳过程,且相关函数RX(τ)=cos(ω0τ).于是由(◇

53、)得X(t)的平均功率ψ2=RX(0)=.(2)因为E[X2(t)]=E[a2cos2(ω0t+Θ)]=E[+cos(2ω0t+2Θ]9平稳过程的谱密度=+cos(2ω0t+2θ)dθ=-sin(2ω0t),故此时X(t)为非平稳过程.由(★)式得X(t)的平均功率为ψ2=limE[X2(t)]dt=lim[-sin(2ω0t)]dt=.以上讨论了平稳过程的谱密度,对于平稳随机序列的谱分析,我们类