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1、讨论：1、能级的简并度其中对能级及波函数n为主量子数由于所以相应的有而对于给定的角动量l，磁量子数m可有2l+1个取值，即因此属于能级的所有简并量子态数目为即对于给定的n（能级一定）而对于给定的l(等差数列)能级En的简并度为比起一般中心力场的简并度2l+1要高。一般中心力场粒子的能级依赖于量子数但库仑场中,En粒只依赖于n,但是n=nr+l+1故能级En除了对m简并，对l也是简并的。所以库仑场具有更高的对称性。对称元素越多,对称性越高，简并度越大从径向方程的求解过程可以看出，这是导致的。2、径向位置几率分布角向部分积分掉rdr其中nr=0
2、称为圆轨道----无节点。可以证明，此时位置为确定。见下图。基态：n=1,l=0—玻尔半径1001电子出现在r=r1的单位厚度球壳层内的概率最大3、几率密度分布随角度的变化显然，几率沿z轴旋转对称。因为Lz是守恒量，故可以用通过z轴的任意平面的曲线描述几率分布随θ角的变化。如zyzyzys电子p电子4、电流分布与磁矩由几率流密度分布表达式（表示单位时间通过某一截面的粒子数）可得电子的电流密度（电子荷电量-e)利用球坐标中容易求出的各分量对但且是绕z轴的环电流密度。见右图。通过dσ的电流元为对磁矩的贡献为其中是环面积。因此总磁矩为其中是
3、细环的体积元。（光速c是由高斯单位制所带来的常数）利用归一化条件后有其中为Bohr磁子。可见，磁矩与m有关，m称之为磁量子数。对s态，l=0,m=0磁矩为0，电流为0。故注意：Mz是很重要的，因为MzB是相互作用能以后经常碰到。另外，由上式可知5、类氢离子共同特点：原子实一个核外电子+类氢离子，如上述结果也都适用。只需①核电荷+e→+Ze或e2→+Ze2②约化质量μ→相应的约化质量比如对能级公式作业：p189,1,3,4§4三维各向同性谐振子质量为μ的粒子在势场V(r)中运动ω是刻画势阱强度的参量。径向方程为仍然采用自然单位来化简方程。化为
4、则径向方程上式出现两个奇点：r=0为正则奇点；r=∞为非正则奇点必须把奇异性分离出来。r=0时径向方程可写为不满足波函数在r=0处的有界条件Rl(r)有两个解：但因解因此，只能取但不满足波函数在无穷远处的边界条件（几率为0），故弃之因此，只能取有界解这样方程的解可表为r→∞时，方程近似化为其渐近行为是代入方程将式可知u(r)满足令通过复合函数求导，上式化为这是合流超几何方程，相应参数为方程有两个线性独立的解故有界解为不满足束缚态边界条件,所以必须使合流超几何函数中断为一个多项式,即α=0或负整数。即加上能量的自然单位，得令则加上长度单位可得
5、相应的波函数为三项之积归一化后得此时nr表示径向波函数的节点数。Nr=0，1，2的径向波函数分别为知道了径向波函数，利用已知的球谐函数形式，很容易写出体系的波函数为讨论：1、能级简并度能级也是等间距的。这表现在但与一维谐振子不同，二维、三维谐振子能级是简并的。同一个N，可有不同的nr，l这是V(r)∝r2的结果。对于给定的EN或N,nr=0,1,2,…(N-1)/2或N/2可以看出,它高于一般中心力场中能级简并度.比如这是由于三维各向同性谐振子场的几何对称性比一般中心力场的几何对称性要高。2、在直角坐标系中求解三维各向同性谐振子可分解为三个
6、彼此独立的一维线性谐振子，其振动频率相同。体系的哈密顿算符为Schrödinger方程为用分离变量法，哈密顿算符可写为其中令相应的本征能量为其中则其中能级简并度：则(nx,ny)可能取值的数目(注意ny取值的个数)由上式可以看出，满足着三维谐振子的能级具有简并特点。的的值事实上不止一组，这意味对于给定N，利用有即当N给定时,nx可取0,1,2,…,N等N+1个值。所以可能取值的数目，即量子态数目（简并度）为nx,ny都取定后,nz只有一种取法,即个取法。等当nx固定时，ny有0，1，2，…，对体系的两个彼此不对易的守恒量F和G，若ψ是F和H
7、的共同本征函数，则Gψ也是H的本征函数,即体系的能级是简并的，本征值均为E.根据能级简并与守恒量关系的定理(p138)：因此在能级有简并的情况下，定态波函数的选取是不唯一的。选ψ选守恒量完全集[F,H]选Gψ选守恒量完全集[H]这相当于选不同的守恒量完全集。在球坐标系中，力学量完全集为在直角坐标系中，力学量完全集为相应的量子数为其共同本征函数为相应的量子数为其共同本征函数为对于基态N=0，能级是不简并的，两种守恒量完全集的共同本征态应该相同。事实上，二者显然是相等的。﹟作业：p1907
