《 数学分析 》期末试卷.doc

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1、数学分析测试卷第一章1、设/(兀)的定义域为D=[O,1],求下列各函数的定义域。(1)/(疋)；(2)/(sinx)；(3)/(x+6z)(tz>0)；(4)/'(jc+g)+/'(x-g)(g>())。2、狄利克莱函数D(x)f当兀为有理数时，D(x)=l；当兀为无理数时，D(x)=0,试证明：狄利克莱函数在定义域7?上是周期函数，但不存在基木周期。3、证明：/(兀)=”

2、(°〉0)定义域/?—{0}上是奇函数。1,x<14^/(x)=<0,

3、x

4、=1,g(x)=ex,求/[g(x)],g[/(x)J，并作出这两个函数的图—1,x>1■形。答案1、(1)[-1,1]；(2)[0,刃

5、;(3)[―d,l—可；(4)[d,l——°22、提示：任何正有理数都是它的周期，任何无理数都不是它的周期。3>提示：/(-x)=-/(x)o4、提示：根据复合函数的定义。第二章1、证明：limo”o,只有有限个卅，使“〉d成立。"TS(3)lim(l+2"+3‘”X；(4)丄丄3、证明：数歹1」£二1_丄+丄_丄+・・・+(_1)心丄收敛。"234v7n4、证明：数列[sizf}是发散的。答案1、提示：取£

6、(x)在兀=0情况。ex+/7,x<02、证明:若函数/(兀)在[d,b]上连续,有数列{兀“}e[a,b],n=1,2,…，且lim/(xw)=c,则存在xoe[a,b],使/(x0)=coz、X'一13、试讨论f(x}=mx——的连续性，若有间断点，说明其类型。In1+如sin兀•f(x)求lim——oxtO对答案1、q〉O,0h-1时，x=0是连续点；qhO,0h-1时，x=0是跳跃间断点;4、已矢U/=lim»to2a-13,q=O,V0时，x=0是振荡间断点；a<0,V0时，x=0是无穷间断点。2、提示：利用最大、最小值定理及介值性定理。3、.f(x)在兀w/?,xh±1处

7、处连续，x=±是跳跃间断点。4、3In2。第四章1、证明：/(x)=x2在[0,+oo)上非一致连续，但在[0,2]±一致连续。2、用闭区间套定理证明侑限覆盖定理。3、用确界定理证明单调有界定理。4、川有限覆盖定理证明致密性定理。答案1提示：取兀,=+=肩心=[,证明非一致连续。2、提示:将闭区间[词二等分,依此类推。3、提示:利用确界定理及确界定义。4、提示：采用反证法。第五章1、讨论y=sinx在x=0的连续与可导性。2x2、设周期函数/(兀)在(-00,+oo)内可导，周期为4,又吧/⑴求曲线)，=/(兀)在点(5,/(5))处的切线的斜率。3、求导数y—z/y(1)设函数y=

8、y(x)由参数方程｛,给出，求〒;e+ey=2ax(2)设函数y=j(x)由参数方程v给岀,clx14、已知y-f(x)与V=4sinx在点(0,0)相切,求lim)f—”丿"TOC答案1、在x=()连续，但不可导。2、广(5)=-2。3、(1)红clx⑵r(o4、2.第八早1、证明:恒等式arctg1+xT^x一arctgx=<-,x0I(3)71arctgx12>1Inxlim.V->+cC(4)x->0aA”sinxa(2)3^证明：arctgx在(一oo,+8)上一致连

9、续。4、设/©)在卜1,1]±具有3阶连续导数，且/(一1)=0,/(1)=1,广(0)=1,则至少存在一点处使厂£)=3。答案]+JC1、提示:令/(兀)=arctgarctgx。I—x22112、(1)—；(2)—；(3)—；(4)—Ina。7T3w63、提示：利用拉格朗口屮值定理。4、提示：利用介值性定理，泰勒展开定理。第七章1、设于(兀)的原函数为—,求打©)rfx。X2、求积分(1)[dx；」1+cosx(2)dx；(3)Jx-^arctgxYdx；1+x23、设广(x)=cos2x+fgd,求/(x)o4、设函数y=y(x)由方程y(x-y)2=x给出，求J—!—dxox—

10、3y答案x2、(1)xtg—+2cos—2+c.ceR:(2)-q*In(I+f)+x-In(1+『)+c,cw/?；fgX)2+C，CGR;⑶lln((4)arctgx+-arctgx3+c,c丘R。3、/(x)=-x2-Inx-l

11、+c,ceR。1(4、—In-1+c,cw/?。第八章1、计算je~{dt(1)lim—2°fCOS"Xfdx；sinx+cosx(4)limV,w台1n+-k2、设/⑴訂加,求/(x)在［0,1］上的最大、