一比较法 (2).ppt

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1、x2x2－(2x－2)=x2－2x＋2=x2－2x＋1＋1=(x－1)2＋1>0∴x2>2x－2.例1比较:2x－2与的大小不等式证明(1)比较法:差值步骤:①作差②变形③定号关键!(配方、因式分解、通分…)证明:四川省泸州高中余相泉…………….作差…………….变形…………….定号问题:x2>xyO2x－2x21－2例1求证:2x－2y=y=函数y=x2的图像在函数y=2x－2图像的上方.几何意义:四川省泸州高中余相泉例2求证:a2＋b2≥ab＋a＋b－1a2＋b2－(ab＋a＋b－1)a2＋b2－ab－a－b＋1222222=()

2、≥0证明:∴a2＋b2≥ab＋a＋b－1.分组配方,变形为平方和结构.四川省泸州高中余相泉证明:=a2b2＋5－2ab＋a2＋4a=(ab－1)2＋(a＋2)2≥0(a2b2＋5)－(2ab－a2－4a)=(a2b2－2ab＋(a2＋4a＋4)四川省泸州高中余相泉＋1)∴a2b2＋5≥2ab－a2－4a.练习1.求证:a2b2＋5≥2ab－a2－4a.2.若x,y,z∈R,a,b,c∈R+,求证:≥2(xy+yz+zx)－2(xy+yz+zx)≥0证明:≥2(xy+yz+zx).－2xy－2yz－2zx四川省泸州高中余相泉练习例2求

3、证:a2＋b2≥ab＋a＋b－1a2＋b2－(ab＋a＋b－1)a2＋b2－ab－a－b＋1222222=()≥0证明:∴a2＋b2≥ab＋a＋b－1.≥0证明2:a2＋b2≥ab＋a＋b－1.1:四川省泸州高中余相泉例2求证:a2＋b2≥ab＋a＋b－1a2＋b2－(ab＋a＋b－1)a2＋b2－ab－a－b＋1222222=()≥0证明:∴a2＋b2≥ab＋a＋b－1.1:例2求证:a2＋b2≥ab＋a＋b－1a2＋b2≥2aba2＋12≥2ab2＋12≥2b2a2＋2b2＋2≥2ab＋2a＋2ba2＋b2≥ab＋a＋b－1证明

4、3:a2＋b2－(ab＋a＋b－1)=a2＋b2－ab－a－b＋1相加四川省泸州高中余相泉≥0证明2:…………a2＋b2≥ab＋a＋b－1.a2＋b2≥2ab重要不等式:例2求证:a2＋b2≥ab＋a＋b－1a2＋b2－(ab＋a＋b－1)证明=a2＋b2－ab－a－b＋1=a2－(b＋1)a＋(b2－b＋1)=a2＋b2－ab－a－b＋1=a2－(b＋1)a＋(b2－b＋1)≥0∴a2＋b2≥ab＋a＋b－1.4:(看着a的二次函数)f(a)=四川省泸州高中余相泉主元思想例2求证:a2＋b2≥ab＋a＋b－1a2＋b2－(ab＋a

5、＋b－1)证明=a2＋b2－ab－a－b＋1=a2－(b＋1)a＋(b2－b＋1)=a2＋b2－ab－a－b＋15:a△=－4(b2－b＋1)(b＋1)2=－3(b－1)2≤0.∴f(a)≥0,二次项系数是1,函数思想(看着a的二次函数)f(a)=∴a2＋b2≥ab＋a＋b－1.四川省泸州高中余相泉主元思想=ab2＋bc2＋ca2－a2b－b2c－c2a例3设a>b>c,求证:ab2＋bc2＋ca2

6、=ab2＋bc2＋ca2－a2b－b2c－c2a=b2(a－c)＋c2(b－a)＋a2(c－b)－－＋不行!a>b>ca－b>0b－c>0a－c>0分析:四川省泸州高中余相泉主元思想,可把零乱的字母归类,然后对式子进行有序管理.=ab2＋bc2＋ca2－a2b－b2c－c2a例3设a>b>c,求证:ab2＋bc2＋ca2b>ca－b>0b－c>0a－c>0ab2＋bc2＋ca2－(a2b＋b2c＋c2a)－＋＋=(c－b)a2＋(b－c)(b＋c)a=(c－b)11-b-c=(c－b)(a－b)(a－c

7、)<0证明:=ab2＋bc2＋ca2－a2b－b2c－c2a＋(b2－c2)a＋bc(c－b)=(c－b)(a－b)(a－c)<0[a2∴ab2＋bc2＋ca2b>c,求证:ab2＋bc2＋ca2b>ca－b>0b－c>0a－c>0证明:c－b<

8、0,ab2＋bc2＋ca2－(a2b＋b2c＋c2a)f(a)=二次项系数:△=－4bc(c－b)2(b2－c2)2=(b－c)4=(c－b)a2＋(b2－c2)a＋bc(c－b)a看着a的二次函数>0.∴f(a)<0,即ab2＋bc