广西2020版高考数学复习考点规范练47抛物线文.docx

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1、考点规范练47　抛物线一、基础巩固1.(2018吉林省吉林市调研)以抛物线y2=8x上的任意一点为圆心作圆与直线x=-2相切,这些圆必过一定点,则这一定点的坐标是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.(0,2)B.(2,0)C.(4,0)D.(0,4)答案B解析由题意得,抛物线y2=8x的准线方程为x=-2,因为动圆的圆心在抛物线y2=8x上,且动圆与抛物线的准线相切,所以动圆必过抛物线的焦点,即过点(2,0).选B.2.抛物线y=-4x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是(　　)A.-1716B.-1516C.1716D.1516答案B解

2、析抛物线方程可化为x2=-y4,其准线方程为y=116.设M(x0,y0),则由抛物线的定义,可知116-y0=1,y0=-1516.3.(2018北京朝阳一模)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过点F的直线l交抛物线C于A,B两点,若

3、AB

4、=8,则线段AB的中点M到直线x+1=0的距离为(　　)A.2B.4C.8D.16答案B解析如图,抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,即x+1=0,分别过A,B作准线的垂线,垂足为C,D,则有

5、AB

6、=

7、AF

8、+

9、BF

10、=

11、AC

12、+

13、BD

14、=8,过AB的中点M作准线的垂线,垂足为N,则MN为直角梯形

15、ABDC的中位线,则

16、MN

17、=12(

18、AC

19、+

20、BD

21、)=4,即M到直线x+1=0的距离为4.故选B.4.已知抛物线x2=ay与直线y=2x-2相交于M,N两点,若MN中点的横坐标为3,则此抛物线方程为(　　)A.x2=32yB.x2=6yC.x2=-3yD.x2=3y答案D解析设点M(x1,y1),N(x2,y2).由x2=ay,y=2x-2消去y,得x2-2ax+2a=0,所以x1+x22=2a2=3,即a=3,因此所求的抛物线方程是x2=3y.5.(2018山东菏泽期末)已知等边三角形AOB(O为坐标原点)的三个顶点在抛物线Γ:y2=2px(p>0)上,且

22、△AOB的面积为93,则p=(　　)A.3B.3C.32D.332答案C解析根据抛物线和等边三角形的对称性可知A,B两点关于x轴对称,不妨设直线OB:y=33x,与y2=2px联立得B(6p,23p),因为△AOB的面积为93,所以34×(43p)2=93,解得p=32.故选C.6.已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M(1,m)(m>0)到其焦点的距离为5,双曲线x2a-y2=1的左顶点为A,若双曲线的一条渐近线与直线AM平行,则实数a=(　　)A.19B.14C.13D.12答案A解析因为抛物线的准线为x=-p2,所以1+p2=5,解得p=8,所以m=4.

23、又双曲线的左顶点坐标为(-a,0),所以41+a=1a,解得a=19,故选A.7.若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是　　　　　. 答案9解析设点M坐标为(xM,yM).抛物线y2=4x的准线为x=-1,由抛物线的定义知xM+1=10,即xM=9.8.已知抛物线y2=4x,过焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,过A,B分别作y轴的垂线,垂足分别为C,D,则

24、AC

25、+

26、BD

27、的最小值为　　　　　. 答案2解析由题意知F(1,0),

28、AC

29、+

30、BD

31、=

32、AF

33、+

34、FB

35、-2=

36、AB

37、-2,即

38、AC

39、+

40、BD

41、取得最小值时当且仅当

42、AB

43、取

44、得最小值.依抛物线定义知当

45、AB

46、为通径,即

47、AB

48、=2p=4时,为最小值,所以

49、AC

50、+

51、BD

52、的最小值为2.9.已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,斜率为22的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1

53、AB

54、=9.(1)求该抛物线的方程;(2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若OC=OA+λOB,求λ的值.解(1)由题意得直线AB的方程为y=22·x-p2,与y2=2px联立,消去y有4x2-5px+p2=0,所以x1+x2=5p4.由抛物线定义得

55、AB

56、=x1+x2+p=5p4+p=9,所以p=4,从而该抛物线的方程为y

57、2=8x.(2)由(1)得4x2-5px+p2=0,即x2-5x+4=0,则x1=1,x2=4,于是y1=-22,y2=42,从而A(1,-22),B(4,42).设C(x3,y3),则OC=(x3,y3)=(1,-22)+λ(4,42)=(4λ+1,42λ-22).又y32=8x3,所以[22(2λ-1)]2=8(4λ+1),整理得(2λ-1)2=4λ+1,解得λ=0或λ=2.10.已知一条曲线C在y轴右边,C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.(1)求曲线C的方程;(2)是否存在正数m,对于过点M(m,0),且与曲线C有两个交点A,B的

58、任一直线,都有FA·FB