江苏专版2020版高考数学第三章导数及其应用第四节函数与导数的综合问题教案理含解析苏教版.docx

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1、第四节函数与导数的综合问题　[锁定考向]用导数解决函数的零点问题是近几年高考命题的热点题型之一．常见的命题角度有：(1)求函数零点或零点个数；(2)已知函数零点个数求参数的值或范围．　　　　[题点全练]角度一：求函数零点或零点个数1．已知函数f(x)＝ax＋lnx＋1，讨论函数f(x)零点的个数．解：法一：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，由f(x)＝ax＋lnx＋1＝0，得lnx＝－ax－1，令u(x)＝lnx，v(x)＝－ax－1，则函数v(x)的图象是过定点(0，－1)，斜率k＝－a的直线．当直线y＝kx－1与函数u(x)＝lnx的图象相切时

2、，两者只有一个交点，此时设切点为P(x0，y0)，则解得所以当k＞1时，函数f(x)没有零点；当k＝1或k≤0时，函数f(x)有1个零点；当0＜k＜1时，函数f(x)有2个零点．即当a＜－1时，函数f(x)没有零点；当a＝－1或a≥0时，函数f(x)有1个零点；当－1＜a＜0时，函数f(x)有2个零点．法二：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，由f(x)＝ax＋lnx＋1＝0，得a＝－.令g(x)＝－(x＞0)，则g′(x)＝.当0＜x＜1时，g′(x)＜0；当x＞1时，g′(x)＞0，故函数g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，

3、g(x)min＝g(1)＝－1，由于g＝0，x→＋∞时，g(x)→0，所以当0＜x＜时，g(x)＞0，当x＞时，g(x)＜0.所以当a＜－1时，函数f(x)没有零点；当a＝－1或a≥0时，函数f(x)有1个零点；当－1＜a＜0时，函数f(x)有2个零点．角度二：已知函数零点个数求参数的值或范围2．(2019·徐州调研)设函数f(x)＝－x2＋ax＋lnx(a∈R)，若函数f(x)在上有两个零点，求实数a的取值范围．解：令f(x)＝－x2＋ax＋lnx＝0，得a＝x－.令g(x)＝x－，其中x∈，则g′(x)＝1－＝，令g′(x)＝0，得x＝1，当≤x

4、＜1时，g′(x)＜0；当1＜x≤3时，g′(x)＞0，∴g(x)的单调递减区间为，单调递增区间为(1,3]，∴g(x)min＝g(1)＝1，∵函数f(x)在上有两个零点，g＝3ln3＋，g(3)＝3－，3ln3＋＞3－，∴实数a的取值范围是.[通法在握]函数的零点个数也就是函数图象与x轴交点的个数，所以可以借助函数图象的特征迅速求解函数的零点个数问题．对于含参函数的零点个数，一般可从两个方面讨论：(1)利用导数研究函数的单调性和极值，作出函数的大致图象，根据极大值和极小值的符号确定函数零点的个数．(2)分离参数，将问题转化为：求直线y＝a与函数y＝

5、f(x)的图象交点个数问题．[演练冲关]1．设函数f(x)＝lnx＋，m∈R.讨论函数g(x)＝f′(x)－零点的个数．解：由题设，g(x)＝f′(x)－＝－－(x＞0)，令g(x)＝0，得m＝－x3＋x(x＞0)．设φ(x)＝－x3＋x(x＞0)，则φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)，当x∈(0,1)时，φ′(x)＞0，φ(x)在(0,1)上单调递增；当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)＜0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减．所以x＝1是φ(x)的极大值点，也是φ(x)的最大值点．所以φ(x)的最大值为φ(1)＝.由φ(0)＝0，结合y＝φ

6、(x)的图象(如图)，可知①当m＞时，函数g(x)无零点；②当m＝时，函数g(x)有且只有一个零点；③当0＜m＜时，函数g(x)有两个零点；④当m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点．综上所述，当m＞时，函数g(x)无零点；当m＝或m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点；当0＜m＜时，函数g(x)有两个零点．2．已知函数f(x)＝aex－x－2a有两个零点，求实数a的取值范围．解：∵f(x)＝aex－x－2a，∴f′(x)＝aex－1.当a≤0时，f′(x)≤0恒成立，函数f(x)在R上单调递减，不可能有两个零点；当a＞0时，令f′(x)＝0，得x＝

7、ln，函数f(x)在上单调递减，在上单调递增，∴f(x)的最小值为f＝1－ln－2a＝1＋lna－2a.令g(a)＝1＋lna－2a(a＞0)，则g′(a)＝－2.当a∈时，g(a)单调递增；当a∈时，g(a)单调递减，∴g(a)max＝g＝－ln2＜0，∴f(x)的最小值f＜0，函数f(x)＝aex－x－2a有两个零点．综上所述，实数a的取值范围是(0，＋∞)．　[典例引领]已知函数f(x)＝lnx－ax2＋x，a∈R.(1)当a＝0时，求函数f(x)的图象在(1，f(1))处的切线方程；(2)若a＝－2，正实数x1，x2满足f(x1)＋f(x2)

8、＋x1x2＝0，求证：x1＋x2≥.解：(1)当a＝0时，f(x)＝lnx＋x，则f(1)＝1，所以切点为(