江苏专版2020版高考数学第三章导数及其应用第二节导数与函数的单调性教案理含解析苏教版.docx

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1、第二节导数与函数的单调性函数的单调性在(a，b)内可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.f′(x)≥0⇔f(x)在(a，b)上为增函数．f′(x)≤0⇔f(x)在(a，b)上为减函数．[小题体验]1．函数f(x)＝ex－x的减区间为________．答案：(－∞，0)2．已知a＞0，函数f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围为________．答案：(0,3]1．求函数单调区间与函数极值时没有列表的习惯，会造成问题不能直观且有条理的解决．2．注意两种表述“函数f(x)在(a，b)上为

2、减函数”与“函数f(x)的减区间为(a，b)”的区别．[小题纠偏]1．函数y＝x2－lnx的单调递减区间为________．解析：y′＝x－＝＝(x＞0)，令y′＜0得0＜x＜1.所以函数的单调递减区间为(0,1)．答案：(0,1)2．已知函数f(x)＝－x2＋blnx在区间[2，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是________．解析：由题意得，f′(x)＝－x＋≤0在[2，＋∞)上恒成立，即b≤x2在[2，＋∞)上恒成立，∵函数g(x)＝x2在[2，＋∞)上单调递增，∴g(x)min＝g(2)＝4，∴b≤4.答案：(－∞，4]　[典

3、例引领](2018·南京学情调研)已知函数f(x)＝ax2－bx＋lnx，a，b∈R.(1)当a＝b＝1时，求曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程；(2)当b＝2a＋1时，讨论函数f(x)的单调性．解：(1)因为a＝b＝1，所以f(x)＝x2－x＋lnx，从而f′(x)＝2x－1＋.因为f(1)＝0，f′(1)＝2，所以曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y－0＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.(2)因为b＝2a＋1，所以f(x)＝ax2－(2a＋1)x＋lnx(x＞0)，从而f′(x)＝2ax－(2a＋1)＋＝＝.当a≤0时，由f

4、′(x)＞0，得0＜x＜1；由f′(x)＜0，得x＞1，所以f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．当0＜a＜时，由f′(x)＞0，得0＜x＜1或x＞；由f′(x)＜0，得1＜x＜，所以f(x)在(0,1)和上单调递增，在上单调递减．当a＝时，因为f′(x)≥0(当且仅当x＝1时取等号)，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．当a＞时，由f′(x)＞0，得0＜x＜或x＞1；由f′(x)＜0得＜x＜1，所以f(x)在和(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减．[由题悟法]判断函数单调性的步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(

5、2)求导数f′(x)，并求方程f′(x)＝0的根；(3)利用f′(x)＝0的根将函数的定义域分成若干个子区间，在这些子区间上讨论f′(x)的正负，由f′(x)的正负确定f(x)在相应子区间上的单调性．[提醒]　研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．[即时应用]　已知函数f(x)＝x3－ax－1，讨论f(x)的单调性．解：f(x)的定义域为R.f′(x)＝3x2－a.①当a≤0时，f′(x)≥0恒成立，所以f(x)在R上为增函数．②当a＞0时，令3x2－a＝0，得x＝±，当x＞或x＜－时，f′(x)＞

6、0；当－＜x＜时，f′(x)＜0.因此f(x)在，上为增函数，在上为减函数．综上可知，当a≤0时，f(x)在R上为增函数；当a＞0时，f(x)在，上为增函数，在上为减函数．　[典例引领]已知函数f(x)＝(x2＋ax＋a)ex，其中a∈R，e是自然对数的底数．(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程；(2)求函数f(x)的单调减区间．解：(1)当a＝1时，f(x)＝(x2＋x＋1)ex，所以f(0)＝1.因为f′(x)＝(x2＋3x＋2)ex，所以f′(0)＝2.所以切线方程为y－1＝2(x－0)，即2x－y＋1＝0.(

7、2)因为f′(x)＝[x2＋(a＋2)x＋2a]ex＝(x＋a)(x＋2)ex，当a＝2时，f′(x)＝(x＋2)2ex≥0，所以f(x)无单调减区间．当－a＞－2，即a＜2时，列表如下：x(－∞，－2)－2(－2，－a)－a(－a，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值所以f(x)的单调减区间是(－2，－a)．当－a＜－2，即a＞2时，列表如下：x(－∞，－a)－a(－a，－2)－2(－2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值所以f(x)的单调减区间是(－a，－2)．综上，当a＝2时，f(x)无单调减区间

8、；当a＜2时，f(x)的单调减区间是(－2，－a)；当a＞2时，f(x)的单调减区间是(－a，－2)．[由题悟法]求函数的单调区间的2方法法一：(1)确定函数y＝f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(