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《《实变函数》第一章 集合.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第一章集合（总授课时数8学时）由德国数学家Cantor所创立的集合论，是现代数学中一个独立的分支，按其本性而言，集合论是整个现代数学的逻辑基础；而就其发展历史而言，则与近代分析（包括实变函数论）的发展密切相关，实变函数通常是第一门大量运用集合论知识的大学数学课程．因此，在现代数学教育中，对集合论知识的较系统的介绍，通常构成实变函数教材的第一章．不过，对于实变函数论来说，集合论毕竟只是一个辅助工具，因此，本章仅介绍那些必不可少的集论知识．§1、集合及其运算教学目的引入集的概念与集的运算,使学生掌握集和集的基本运算规律.本节重点DeMorgan公
2、式是常用的公式.证明两个集相等和包含关系是经常要遇到的论证,通过例子使学生掌握其基本方法.集列的极限是一种新型的运算,学生应理解其概念.本节难点对集列极限的理解.授课时数2学时——————————————————————————————一、集合的概念及其表示集合也称作集，是数学中所谓原始概念之一，即不能用别的概念加以定义，它像几何学中的“点”、“直线”那样，只能用一组公理去刻画．就目前来说，我们只要求掌握以下朴素的说法：“在一定范围内的个体事物的全体，当将它们看作一个整体时，我们把这个整体称为一个集合，其中每个个体事物叫做该集合的元素．”一个
3、集合的元素必须彼此互异，而且哪些事物是给定集合的元素必须明确．以集合作为元素的集合，也常称为集族或集类．以后常用大写字母表示集合，用小写字母表示集合中的元素．如果是集合的元素，则说属于，记作，或说A含有a．如果不是集的元素，则说不属于，记作，或说A不含有a．有些集合可用列举其元素的办法来表示，如：只含有一个元素的集合称为单元素集或独点集，可表示为．由个元素所组成的集合，可表示为由全体自然数所组成的集合称为自然数集，可表示为．第14页（共14页）当集是具有某性质的元素之全体时，我们用下面的形式表示：例如，方程的解x的全体组成的数集是，实际上就是
4、.有时我们也把集具有性质改写成具有性质．例如，设是定义在集合上的一实函数，是一个实数，我们把集写成或．不含任何元素的集合称为空集，记作．设，是两个集，若和的元素完全相同，就称和相等，记作=(或=).若集合的元素都是集合的元素，就称为是的子集，记作B(或B)，读作包含于(或B包含A)．若A且,就称A是的真子集，规定空集是任何集的子集．由集的“相等”与“包含”的定义可得如下定理：定理1对任何集合，，C，均有（1）；（2）若，则；（3）且．二集合的运算设，是两个集合，集合与的并集或并集合与的交集或交特别地，若，称与不相交；反之，则称与相交．集合减的
5、差集或差:当时，称差集为关于的余集记作()．当我们研究一个问题时，如果所讨论的集合都是某个固定集的子集时，就称为基本集或全集，并把的子集关于的余集简称为B的余集，记为或.并集与交集的概念可以推广到任意个集的情形，设为一非空集合，并且对每一个，指定了一个集合,此时我们称是以为指标集的集族，集族第14页（共14页）的并与交分别定义为:例设则,关于集合的并和交显然有下面的性质：(见课本P9-P10)更一般地有:DeMorgan公式,证明（略）注：通过取余集，使与，与互相转换.三、集列极限设是一个集合序列，，其上限集和下限集分别定义为上极限集：下极限
6、集：或除去有限个集外，有当充分大时，有注：例：设，则上极限集为,下极限集为.极限集如果集列的上极限集与下极限集相等，即则称集列收敛，称其共同的极限为集列的极限集，记为：单调增集列极限第14页（共14页）定理2：单调集列是收敛的1)如果集列单调增加，则2)如果集列单调减少，则例1：设则，例2：设则，小结本节介绍了集的基本概念,集的运算和运算性质.这些知识是本课程的基础.证明两个集的相等是经常会遇到的,应掌握其证明方法.DeMorgan公式很重要,以后会经常用到.集列的极限是一种与数列极限不同的极限,应正确理解其概念.——————————————
7、————————————————作业：P305,7,8练习题1.设为一集列：（1）作，证明为一列互不相交的集列，且（2）若是单调减少的集列，证明并且其中各项互不相交.2.证明:(1),(2)(3)单调递增时，有(4)单调递减时，有第14页（共14页）3.已知，求和，并问是否存在？§2对等与基数教学目的介绍映射,基数,等概念和它们的属性.本节要点一一对应的思想与方法是贯穿本节的核心.基数的概念，讨论都要用一一对应的方法.证明两个集对等或具有相同的基数,有时需要一定的技巧,因而具有一定难度,通过较多的例题和习题,使学生逐步掌握其中的技巧.本节难点
8、证明两个集对等或具有相同的基数.授课时数2学时——————————————————————————————1映射的定义在数学分析课程中我们对函数已经很熟悉.其中函数
