2020版高考数学复习导数及其应用第5讲利用导数研究不等式恒成立求参数范围问题分层演练.docx

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1、第5讲利用导数研究不等式恒成立求参数范围问题1．设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是(　　)A．(－∞，－1)∪(0，1)　　B．(－1，0)∪(1，＋∞)C．(－∞，－1)∪(－1，0)D．(0，1)∪(1，＋∞)解析：选A．设y＝g(x)＝(x≠0)，则g′(x)＝，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，所以g′(x)<0，所以g(x)在(0，＋∞)上为减函数，且g(1)＝f(1)＝－f(－1)＝0.因为f

2、(x)为奇函数，所以g(x)为偶函数，所以g(x)的图象的示意图如图所示．当x＞0，g(x)＞0时，f(x)＞0，0＜x＜1，当x＜0，g(x)＜0时，f(x)>0，x＜－1，所以使得f(x)＞0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1)，故选A．2．已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a，若∀x1∈，∃x2∈[2，3]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是(　　)A．a≤1B．a≥1C．a≤2D．a≥2解析：选A．由题意知f(x)min≥g(x)min(x∈[2，3])，因为f(x)min＝5，g(

3、x)min＝4＋a，所以5≥4＋a，即a≤1，故选A．3．设函数f(x)＝ax＋lnx，g(x)＝a2x2.(1)当a＝－1时，求函数y＝f(x)图象上的点到直线x－y＋3＝0距离的最小值；(2)是否存在正实数a，使得不等式f(x)≤g(x)对一切正实数x都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．解：(1)由f(x)＝－x＋lnx，得f′(x)＝－1＋，令f′(x)＝1，得x＝，所以所求距离的最小值即为P到直线x－y＋3＝0的距离，d＝＝(4＋ln2).(2)假设存在正数a，令F(x)＝f(x)－g(x)(

4、x＞0)，则F(x)max≤0.由F′(x)＝a＋－2a2x＝0，得x＝，因为x＞时，F′(x)＜0，所以F(x)为减函数；当0＜x＜时，F′(x)＞0，所以F(x)为增函数，所以F(x)max＝F，所以ln≤0，即a≥1.所以a的取值范围是[1，＋∞)．4．(2019·贵州适应性考试)已知函数f(x)＝ax－ex(a∈R)，g(x)＝.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)∃x0∈(0，＋∞)，使不等式f(x)≤g(x)－ex成立，求a的取值范围．解：(1)因为f′(x)＝a－ex，x∈R.当a≤0时，f′(x)＜0，

5、f(x)在R上单调递减；当a＞0时，令f′(x)＝0得x＝lna.由f′(x)＞0得f(x)的单调递增区间为(－∞，lna)；由f′(x)＜0得f(x)的单调递减区间为(lna，＋∞)．(2)因为∃x0∈(0，＋∞)，使不等式f(x)≤g(x)－ex，则ax≤，即a≤.设h(x)＝，则问题转化为a≤()max，由h′(x)＝，令h′(x)＝0，则x＝.当x在区间(0，＋∞)内变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：x(0，)(，＋∞)h′(x)＋0－h(x)单调递增极大值单调递减由上表可知，当x＝时，函数h(x)有

6、极大值，即最大值为.所以a≤.5．(2017·高考全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝(1－x2)ex.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当x≥0时，f(x)≤ax＋1，求a的取值范围．解：(1)f′(x)＝(1－2x－x2)ex.令f′(x)＝0得x＝－1－，x＝－1＋.当x∈(－∞，－1－)时，f′(x)<0；当x∈(－1－，－1＋)时，f′(x)>0；当x∈(－1＋，＋∞)时，f′(x)<0.所以f(x)在(－∞，－1－)，(－1＋，＋∞)上单调递减，在(－1－，－1＋)上单调递增．(2)f(x)＝(1＋x)(1－x)ex.

7、当a≥1时，设函数h(x)＝(1－x)ex，h′(x)＝－xex<0(x>0)，因此h(x)在[0，＋∞)上单调递减，而h(0)＝1，故h(x)≤1，所以f(x)＝(x＋1)h(x)≤x＋1≤ax＋1.当00(x>0)，所以g(x)在[0，＋∞)上单调递增，而g(0)＝0，故ex≥x＋1.当0(1－x)(1＋x)2，(1－x)(1＋x)2－ax－1＝x(1－a－x－x2)，取x0＝，则x0∈(0，1)，(1－x0)(1＋x0)2－ax0

8、－1＝0，故f(x0)>ax0＋1.当a≤0时，取x0＝，则x0∈(0，1)，f(x0)>(1－x0)(1＋x0)2＝1≥ax0＋1.综上，a的取值范围是[1，＋∞)．6．(2019·兰州模拟)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋xlnx的图象在(1，f(1))处的切线方程为3x－y－2＝0.(1)求实数a，b的值；(2