解三角形教案.docx

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1、知识讲解1.正弦定理:或变形：.推论：①定理：若α、β＞0，且α+β＜，则α≤β，等号当且当α=β时成立。②判断三角解时，可以利用如下原理：sinA＞sinBA＞Ba＞b（在上单调递减）2.余弦定理：或.3.解三角形常见的四种类型(1)已知两角A、B与一边a,由A+B+C=180°及==，可求出角C，再求b、c.(2)已知两边b、c与其夹角A，由a2=b2+c2-2bccosA，求出a，再由余弦定理，求出角B、C.(3)已知三边a、b、c，由余弦定理可求出角A、B、C.(4)已知两边a、b及其中一边的对角A，由正弦定理=，求出另一边b的对角B，由C=

2、π-(A+B)，求出c，再由=求出C，而通过=求B时，可能出一解，两解或无解的情况，其判断方法，如下表：A>90°A=90°A<90°a>b一解一解一解a=b无解无解一解absinA两解无解无解a=bsinA一解a

3、的边分别为a，b，c，若a＝1，c＝4，B＝45°，则sinC＝______.　(1)A　(2)解析　(1)在△ABC中，由正弦定理及已知得2sinA·sinB＝sinB，∵B为△ABC的内角，∴sinB≠0.∴sinA＝.又∵△ABC为锐角三角形，∴A∈，∴A＝.(2)由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝1＋32－8×＝25，即b＝5.所以sinC＝＝＝.【例题2】在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC.(1)求角A的大小；(2)若sinB＋sinC＝，试判断△AB

4、C的形状．解　(1)由2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC，得2a2＝(2b－c)b＋(2c－b)c，即bc＝b2＋c2－a2，∴cosA＝＝，∴A＝60°.(2)∵A＋B＋C＝180°，∴B＋C＝180°－60°＝120°.由sinB＋sinC＝，得sinB＋sin(120°－B)＝，∴sinB＋sin120°cosB－cos120°sinB＝.∴sinB＋cosB＝，即sin(B＋30°)＝1.∵0°

5、例题3】(2013·新课标全国Ⅱ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcosC＋csinB.(1)求B；(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．解　(1)由已知及正弦定理，得sinA＝sinBcosC＋sinCsinB．①又A＝π－(B＋C)，故sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC．②由①，②和C∈(0，π)得sinB＝cosB.又B∈(0，π)，所以B＝.(2)△ABC的面积S＝acsinB＝ac.由已知及余弦定理，得4＝a2＋c2－2accos.又a2＋c2≥2ac，故ac≤，当且仅当a＝c时，等

6、号成立．因此△ABC面积的最大值为＋1.课堂运用1、在△ABC中，若a2－c2＋b2＝ab，则C＝(　　)．A．30°B．45°C．60°D．120°答案：　A解析　由a2－c2＋b2＝ab，得cosC＝＝＝，所以C＝30°.2、在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为，则BC的长为(　　)．A.B.C．2D．2答案　B解析　S＝×AB·ACsin60°＝×2×AC＝，所以AC＝1，所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos60°＝3，所以BC＝.3、△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝，C＝，则△ABC

7、的面积为(　　)．A．2＋2B.＋1C．2－2D.－1答案　B解析　由正弦定理＝及已知条件得c＝2，又sinA＝sin(B＋C)＝×＋×＝.从而S△ABC＝bcsinA＝×2×2×＝＋1.4、在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c2＝2a2＋2b2＋ab，则△ABC是(　　)．A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形5、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝，b＝2，sinB＋cosB＝，则角A的大小为________．答案　解析　sinB＋cosB＝，所以sin＝，所以B＝，根据正弦定理可知＝

8、，可得＝，所以sinA＝，又a＜b，故A＝.6、设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝1，