2019_2020学年高中数学第一章统计1.8最小二乘估计学案北师大版必修3.docx

《2019_2020学年高中数学第一章统计1.8最小二乘估计学案北师大版必修3.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、1.8最小二乘估计[航向标·学习目标]1．在探索多种方法确定线性回归直线的过程中，体会最小二乘的思想方法．2．能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程．[读教材·自主学习]1．最小二乘法：如果有n个点：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，可以用下面的表达式来刻画这些点与直线y＝a＋bx的接近程度：[y1－(a＋bx1)]2＋[y2－(a＋bx2)]2＋…＋[yn－(a＋bxn)]2.使得上式达到最小值的直线y＝a＋bx就是我们所要求的直线，这种方法称为最小二乘法．2．线性回归方程：如

2、果用表示，用表示，则可以求得b＝＝.a＝－b.这样得到的直线方程称为线性回归方程，a，b是线性回归方程的系数．[看名师·疑难剖析]1．求线性回归方程的步骤(1)列表xi，yi，xiyi.(2)计算，，，iyi.(3)代入公式b＝，a＝－b求出b，a.(4)写出直线方程：＝bx＋a.2．线性回归方程系数公式的推导过程首先将[y1－(a＋bx1)]2＋[y2－(a＋bx2)]2＋…＋[yn－(a＋bxn)]2化成关于未知数a的一元二次多项式形式：na2＋2n(b－)a＋[(y1－bx1)2＋(y2－bx2)2＋

3、…＋(yn－bxn)2]＝n[a＋(b－)]2－n(b－)2＋[(y1－bx1)2＋(y2－bx2)2＋…＋(yn－bxn)2]因此当a＝－b时，上式取得最小值，将这个关系代入上式，整理成关于未知数b的一元二次多项式的形式：[y1－(a＋bx1)]2＋[y2－(a＋bx2)]2＋…＋[yn－(a＋bxn)]2＝[(y1－)－b(x1－)]2＋[(y2－)－b(x2－)]2＋…＋[(yn－)－b(xn－)]2＝b2[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]－2b[(x1－)(y1－)＋(x2－)(y2－

4、)＋…＋(xn－)(yn－)]＋[(y1－)2＋(y2－)2＋…＋(yn－)2]，因此，当b＝＝＝时点(x1，y1)(x2，y2)…(xn，yn)与直线y＝a＋bx最接近(注意并不是点到直线距离之和最小)．a，b的意义是：以a为基数，x每增加一个单位，y相应的平均增加b个单位．考点一线性回归方程的概念例1设有一个线性回归方程为y＝4－2x，则变量x增加2个单位时()A．y平均增加1.5个单位B．y平均减少1.5个单位C．y平均增加4个单位D．y平均减少4个单位[解析]该题考查线性回归方程的两个变量之间的线性

5、关系问题．由回归直线方程y＝4－2x，知斜率为－2，所以变量x每增加1个单位，y平均减少2个单位，故当变量x增加2个单位时，y平均减少4个单位，所以选D.[答案]D类题通法根据线性回归方程可获得对两个变量之间整体关系的了解，对于已知的变量x，可以相应估计出变量y的值.工人月工资(元)依劳动生产率(千元)变化的线性回归方程为y＝50＋80x，下列判断正确的是()A．劳动生产率为1000元时，工资为130元B．劳动生产率提高1000元时，工资平均提高80元C．劳动生产率提高1000元时，工资平均提高130元D．

6、当月工资为210元时，劳动生产率为2000元答案B解析线性回归方程y＝a＋bx中b的意义是当x增加一个单位时，y的值平均变化b个单位，这是一个平均变化率．线性回归方程只能用于预测变量的值.考点二求线性回归方程例2每立方米混凝土的水泥用量x(单位：kg)与28天后混凝土的抗压强度y(单位：kg/cm2)之间的关系有如下数据：x150160170180190200210220230240250260y56.958.361.664.668.171.374.177.480.282.686.489.7求两变量间的回归

7、直线方程．[分析]由题目可获取以下主要信息：①两变量具有线性相关关系；②由两变量的对应数据求回归直线方程．解答本题要先列出相应的表格，有了表格中的那些相关数据，回归方程中的系数就都容易求出了．[解]列表如下：i123456xi150160170180190200yi56.958.361.664.668.171.3xiyi8535932810472116281293914260i789101112xi210220230240250260yi74.177.480.282.686.489.7xiyi1556117

8、02818446198242160023322＝205，＝72.6，＝518600，＝64572.94，iyi＝182943∴b＝＝≈0.304，a＝－b＝72.6－0.304×205＝10.28.于是所求的回归方程是＝0.304x＋10.28.类题通法用公式求回归方程的一般步骤是：①列表xi，yi，xiyi.②计算，，，，iyi.③代入公式计算b、a的值．④写出回归直线方程．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随