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时间:2020-02-28
《2019_2020学年新教材高中数学第七章复数7.3复数的三角表示应用案巩固提升新人教A版必修第二册.docx》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、7.3复数的三角表示[A 基础巩固]1.复数-i的三角形式是( )A.cos+isin B.cos+isinC.cos-isinD.cos+isin解析:选A.-i=cosπ+isinπ=cos+isin=cos+isin.2.复数sin50°-isin140°的辐角的主值是( )A.150°B.40°C.-40°D.320°解析:选D.sin50°-isin140°=cos(270°+50°)+isin(180°+140°) =cos320°+isin320°.3.复数sin4+icos4的辐角的主值为( )A.4B.-4C.2π-4D.-4解析:选D.sin4+i
2、cos4=cos+isin.4.若复数cosθ+isinθ和sinθ+icosθ相等,则θ的值为( )A.B.或C.2kπ+(k∈Z)D.kπ+(k∈Z)解析:选D.因为cosθ+isinθ=sinθ+icosθ,所以cosθ=sinθ,即tanθ=1,所以θ=+kπ,(k∈Z).5.如果θ∈,那么复数(1+i)(cosθ-isinθ)的三角形式是( )A.B.[cos(2π-θ)+isin(2π-θ)]C.D.解析:选A.因为1+i=,cosθ-isinθ=cos(2π-θ)+isin(2π-θ),所以(1+i)(cosθ-isinθ)==.6.已知z=cos+isin
3、,则argz2=________.解析:因为argz=,所以argz2=2argz=2×=.答案:7.把复数1+i对应的向量按顺时针方向旋转,所得到的向量对应的复数是________.解析:(1+i)====1-i.答案:1-i8.设复数z1=1+i,z2=+i,则的辐角的主值是_________________.解析:由题知,z1=2,z2=2,所以的辐角的主值为-=.答案:9.设复数z1=+i,复数z2满足
4、z2
5、=2,已知z1z的对应点在虚轴的负半轴上,且argz2∈(0,π),求z2的代数形式.解:因为z1=2,设z2=2(cosα+isinα),α∈(0,π),所以
6、z1z=8.由题设知2α+=2kπ+(k∈Z),所以α=kπ+(k∈Z),又α∈(0,π),所以α=,所以z2=2=-1+i. 10.已知z=-2i,z1-z2=0,argz2=,若z1,z2在复平面内分别对应点A,B,且
7、AB
8、=,求z1和z2.解:由题设知z=1-i,因为
9、AB
10、=,即
11、z1-z2
12、=,所以
13、z1-z2
14、=
15、z2-z2
16、=
17、(1+i)z2-z2
18、=
19、iz2
20、=
21、z2
22、=,又argz2=,所以z2=,z1=z2=(1+i)z2=·=2.[B 能力提升]11.若复数z=(a+i)2的辐角的主值是,则实数a的值是( )A.1B.-1C.-D.-解析:选B.因为
23、z=(a+i)2=(a2-1)+2ai,argz=,所以,所以a=-1,故选B.12.设π<θ<,则复数的辐角的主值为( )A.2π-3θB.3θ-2πC.3θD.3θ-π解析:选B.==cos3θ+isin3θ.因为π<θ<,所以3π<3θ<,所以π<3θ-2π<,故选B.13.已知复数z满足z2+2z+4=0,且argz∈,则z的三角形式为________.解析:由z2+2z+4=0,得z=(-2±2i)=-1±i.因为argz∈,所以z=-1-i应舍去,所以z=-1+i=2.答案:z=214.已知k是实数,ω是非零复数,且满足argω=π,(1+)2+(1+i)2=1
24、+kω.(1)求ω的值;(2)设z=cosθ+isinθ,θ∈[0,2π],若
25、z-ω
26、=1+,求θ的值.解:(1)设ω=r(r>0),可求出r=,即ω=-1+i.(2)
27、z-ω
28、=.因为
29、z-ω
30、=1+,所以=1+,化简得cos=1,而≤θ+≤,所以θ+=2π,即θ=.[C 拓展探究]15.设O为复平面的原点,A、B为单位圆上两点,A、B所对应的复数分别为z1、z2,z1、z2的辐角的主值分别为α、β.若△AOB的重心G对应的复数为+i,求tan(α+β).解:由题意可设z1=cosα+isinα,z2=cosβ+isinβ.因为△AOB的重心G对应的复数为+i,所以=+i
31、,即所以所以tan=,故tan(α+β)==.
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