高中数学第一章导数及其应用1.7定积分的简单应用1.7.1定积分在几何中的应用讲义新人教A版.docx

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1、1.7.1　定积分在几何中的应用1．利用定积分求平面图形的面积在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形直观确定出被积函数以及积分的上、下限．2．常见图形的面积与定积分的关系(1)如图①，当f(x)>0时，f(x)dx>0，所以S＝；(2)如图②，当f(x)<0时，f(x)dx<0，所以S＝f(x)dx＝－f(x)dx；(3)如图③，当a≤x≤c时，f(x)<0，f(x)dx<0；当c≤x≤b时，f(x)>0，f(x)dx>0，所以S＝f(x)dx＋f(x)dx＝－f(x)dx＋f(x)dx；(4)如图④，在公共积分区间[a，b]上

2、，当f1(x)>f2(x)时，曲边梯形的面积为S＝[f1(x)－f2(x)]dx＝f1(x)dx－f2(x)dx.求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤第一步，画出图形．第二步，确定图形范围，通过解方程组求出交点的横坐标，定出积分上、下限．第三步，确定被积函数，特别要注意分清被积函数上、下位置．第四步，写出平面图形面积的定积分表达式．第五步，运用微积分基本公式计算定积分，求出平面图形的面积．答案　(1)×　(2)√　(3)√2．做一做(1)由曲线y＝ex，x＝2，x＝4，y＝0所围成的图形的面积等于________．(2)曲线y＝x3与直线y＝x所围

3、成图形的面积为________．(3)抛物线y＝x2－1与x轴围成图形的面积是________．答案　(1)e4－e2　(2)　(3)探究1　　不可分割图形面积的求解例1　求由抛物线y＝x2－4与直线y＝－x＋2所围成图形的面积．[解]　由得或所以直线y＝－x＋2与抛物线y＝x2－4的交点为(－3，5)和(2,0)．设所求图形的面积为S，根据图形可得拓展提升不分割型图形面积的求解步骤：(1)准确求出曲线的交点横坐标；(2)在坐标系中画出由曲线围成的平面区域；(3)根据图形写出能表示平面区域面积的定积分；(4)计算得所求面积．【跟踪训练1】　计算由曲线y2

4、＝x，y＝x3所围成图形的面积S.解　作出曲线y2＝x，y＝x3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．解方程组得交点横坐标为x＝0及x＝1.因此，所求图形的面积为探究2　　可分割图形面积的求解例2　求由曲线y＝，y＝2－x，y＝－x所围成图形的面积．[解]　解法一：画出草图，如图所示．解方程组拓展提升由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区段内位于上方和下方的函数有所变化，通过解方程组求出曲线的不同的交点坐标，可以将积分区间进行细化区段，然后根据图象对各个区段分别求面积进而求和，在每个区段上被积函数均是由上减下；若积分变量选取x运算较为复杂

5、，可以选y为积分变量，同时更改积分的上、下限．【跟踪训练2】　求由抛物线y2＝8x(y>0)与直线x＋y－6＝0及y＝0所围成图形的面积．探究3　　综合问题例3　在曲线y＝x2(x≥0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围的面积为，试求：(1)切点A的坐标；(2)在切点A的切线方程．[解]　如右图，设切点A(x0，y0)，由y′＝2x，过点A的切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)，即y＝2x0x－x，令y＝0，得x＝，即C.拓展提升本题综合考查了导数的意义以及定积分等知识，运用待定系数法，先设出切点的坐标，利用导数的几何意义，建立了切线方程，然后

6、利用定积分以及平面几何的性质求出所围成的平面图形的面积，根据条件建立方程求解，从而使问题得以解决．【跟踪训练3】　已知抛物线y＝－＋2x(a>0)，过原点的直线l平分由抛物线与x轴所围成的封闭图形的面积，求l的方程．对于简单图形的面积求解，可以直接运用定积分的几何意义，此时：(1)确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标.(2)确定被积函数，一般是上曲线与下曲线对应函数的差．这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了．注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积：定积分可正、可负、可为零；而平面图形的面积总是非负的.1．由y＝，x＝1，x

7、＝2，y＝0所围成的平面图形的面积为(　　)A．ln2B．ln2－1C．1＋ln2D．2ln2答案　A解析　画出曲线y＝(x>0)及直线x＝1，x＝2，y＝0，则所求面积S为如图所示阴影部分面积．所以S＝dx＝lnx

8、＝ln2－ln1＝ln2.2．由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形面积为(　　)A.B.C.D.答案　A解析　作出曲线y＝x2，y＝x3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．解方程组得曲线y＝x2，y＝x3交点的横坐标为x＝0及x＝1.因此，所求图形的面积为S＝(x2－x3)dx＝

9、＝－＝.3．由曲线y＝2x2，及x＝0，x＝3，y＝0所

10、围成图形的面积为________．答案　18解析　图形面积为S＝2x2dx＝2x