黑龙江省牡丹江市第一高级中学2020届高三数学12月月考试题理.docx

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1、黑龙江省牡丹江市第一高级中学2020届高三数学12月月考试题理第Ⅰ卷（满分60分）一、选择题（每小题5分，共12小题）1.已知集合，则=（）A．B．C.D．2.下列命题中的假命题是（）A．B．C.D．3.已知角的终边上一点坐标为，则角的最小正值为()A．B．C.D．4.等差数列的前项和为，若，则（）A．B．C.D．5.为不同的平面，为不同的直线，则的一个充分条件是()A.B．C．D．6.函数的图像大致是（）7.过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．8.已知圆锥的顶点为，母线所成角的余弦值为，与圆锥底面所

2、成角为，若的面积为，则该圆锥的侧面积为（）A．B．C．D．9．已知是直线上一动点，是圆的两条切线，切点分别为，若四边形的最小面积为，则（）A．B．C．D．10.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.已知在鳖臑中平面，，则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为（）A.B.C.D.11.已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交于两点，若，，则椭圆的离心率为（）A.B.C.D.12．已知点为外接圆的圆心，角所对的边分别为，且，若，则当角取到最大值时的面积为（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题满分90分）二、填空题（每小题5分，共4小题）13.

3、过三点A，B，C的圆的方程为。14.已知实数满足，则的最大值为_______.15.设是内一定点，过作两条互相垂直的直线分别交圆O于两点，则弦中点的轨迹方程是.16.如图正方体的棱长为1，，分别为的中点.则下列命题：①直线与平面平行；②直线与直线垂直；③平面截正方体所得的截面面积为；④点与点到平面的距离相等；⑤平面截正方体所得两个几何体的体积比为.其中正确命题的序号为_______．三、解答题（共70分）17.在等差数列中，，且成等比数列.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列的公差不为，设，求数列的前项和.18.设函数.（Ⅰ）求函数的单调递增区间；（Ⅱ）

4、在锐角中，若，且能盖住的最小圆的面积为，求周长的取值范围.19．如图，在四棱锥中，底面是梯形，，，，为等边三角形。（Ⅰ）当长为多少时，平面平面？并说明理由；（Ⅱ）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值。20.已知椭圆的右焦点为，点的坐标为，为坐标原点，是等腰直角三角形.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）经过点作直线交椭圆于两点，求面积的最大值；（Ⅲ）是否存在直线交椭圆于两点，使点为的垂心（垂心：三角形三边高线的交点）？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.21.已知函数。（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）若是的两个零点，求证：.选考题，共10分.请考生在第

5、22、23题中任选一道作答,作答前填上所选的题号,如若多做，则按所做第一题计分.22.参数方程与极坐标选讲在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（Ⅰ）求曲线的普通方程和极坐标方程；（Ⅱ）设射线与曲线交于点，与直线交于点，求线段的长.23.不等式选讲已知函数，记的最小值为.（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）是否存在正数，同时满足：？并说明理由.牡一中2017级高三学年12月份理科数学月考考试题参考答案123456789101112ABCDADBBCDDA13141516-4①③⑤

6、17.（Ⅰ）设数列的公差为.因为成等比数列，所以，又，所以,即解得或.当时,.当时,.（Ⅱ）因为公差不为,由（Ⅰ）知,则，所以.18.（Ⅰ）因为由，解得，所以函数的单调递增区间为.（Ⅱ）因为，所以.又因为为锐角三角形，所以，，所以，故有.已知能盖住的最小圆为的外接圆，而其面积为，所以，解得，的角所对的边分别为，由正弦定理，所以，，，由为锐角三角形，所以.所以，则，故，所以，故此的周长的取值范围为.19.（Ⅰ）当时，平面平面.理由如下：在中，结合已知有，，满足勾股定理，所以.又，，所以.而，所以平面平面.（Ⅱ）分别取线段的中点,连接.因为为等边三角形，为的

7、中点，所以，且.又，所以，故为二面角的平面角，所以.如图，分别以,的方向以及过点垂直于平面向上的方向作为轴的正方向，建立空间直角坐标系.因为,,所以，，，，可得设为平面的一个法向量，则有.即，令=1，可直线与平面所成角为,则有所以直线与平面所成角的正弦值为.20.（Ⅰ）由是等腰直角三角形，可得，故椭圆的方程为.（Ⅱ）由构成三角形，所以不垂直轴.设过点的直线的方程为，的横坐标分别为，联立直线与椭圆的方程，消元可得，首先，有.同时，所以，令，则，，令，则，（当且仅当时取等号）。又面积，所以面积的最大值为.（Ⅲ）假设存在直线交椭圆于两点，且使点为的垂心，设，因

8、为，，所以．于是设直线的方程为，联立椭圆方程，消元可得．由，得，同时，且,由题意