《数学分析》教案-第三章函数极限.doc

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1、第三章函数极限在《数学分析》中，所讨论的极限基本上分两部分，第一部分是“数列的极限”，第二部分是“函数的极限”.二者的关系到是“特殊”与“一般”的关系；数列极限是函数极限的特例.通过数列极限的学习.应有一种基本的观念：“极限是研究变量的变化趋势的”或说：“极限是研究变量的变化过程，并通过变化的过程来把握变化的结果”.例如，数列这种变量即是研究当时，的变化趋势.我们知道，从函数角度看，数列可视为一种特殊的函数，其定义域为，值域是，即;或　或.研究数列的极限，即是研究当自变量时，函数变化趋势.此处函数的自变量n只

2、能取正整数！因此自变量的可能变化趋势只有一种，即.但是，如果代之正整数变量n而考虑一般的变量为，那么情况又如何呢？具体地说，此时自变量x可能的变化趋势是否了仅限于一种呢？为此，考虑下列函数:类似于数列，可考虑自变量时，的变化趋势；除此而外，也可考虑自变量时，的变化趋势；还可考虑自变量时，的变化趋势；还可考虑自变量时，的变化趋势,.由此可见，函数的极限较之数列的极限要复杂得多，其根源在于自变量性质的变化.但同时我们将看到，这种复杂仅仅表现在极限定义的叙述有所不同.而在各类极限的性质、运算、证明方法上都类似于数列

3、的极限.下面，我们就依次讨论这些极限.§1　函数极限的概念教学目标：掌握各种函数极限的分析定义，能够用分析定义证明和计算函数的极限．教学要求：掌握当；；；；；时函数极限的分析定义，并且会用函数极限的分析定义证明和计算较简单的函数极限．教学建议：本节的重点是各种函数极限的分析定义．对多数学生要求主要掌握当时函数极限的分析定义，并用函数极限的分析定义求函数的极限.一、时函数的极限(一)引言设函数定义在上，类似于数列情形，我们研究当自变量时，对应的函数值能否无限地接近于某个定数Ａ.这种情形能否出现呢？回答是可能出现

4、，但不是对所有的函数都具此性质.　例如　无限增大时，无限地接近于0；无限增大时，无限地接近于；无限增大时，与任何数都不能无限地接近.正因为如此，所以才有必要考虑时，的变化趋势.我们把象，这样当时，对应函数值无限地接近于某个定数Ａ的函数称为“当时有极限Ａ”.问题如何给出它的精确定义呢?类似于数列,当时函数极限的精确定义如下.(二)时函数极限的定义定义1　设为定义在上的函数，Ａ为实数.若对任给的，存在正数Ｍ，使得当时有,则称函数当时以Ａ为极限.记作或.(三)几点注记1、义1中作用与数列极限中作用相同，衡量与Ａ的接

5、近程度，正数Ｍ的作用与数列极限定义中Ｎ相类似，表明充分大的程度；但这里所考虑的是比Ｍ大的所有实数，而不仅仅是正整数n.2、的邻域描述：当时，3、的几何意义：对，就有和两条直线，形成以Ａ为中心线，以为宽的带形区域.“当时有”表示：在直线的右方，曲线全部落在这个带形区域内.如果给得小一点，即带形区域更窄一点，那么直线一般往右移；但无论带形区域如何窄，总存在正数Ｍ，使得曲线在的右边的全部落在这个更窄的带形区域内.4、现记为定义在或上的函数，当或时，若函数值能无限地接近于常数Ａ，则称当或时时以Ａ为极限，分别记作，　　

6、　　　或，　　　　　或.这两种函数极限的精确定义与定义1相仿，简写如下：当时，，当时，.5、推论设为定义在上的函数，则.(四)利用＝Ａ的定义验证极限等式举例例1　证明　.例2　证明　　1）；2）.二、时函数的极限(一)引言上节讨论的函数当时的极限，是假定为定义在上的函数，这事实上是，即为定义在上，考虑时是否趋于某个定数Ａ.本节假定为定义在点的某个空心邻域内的函数，.现在讨论当时，对应的函数值能否趋于某个定数Ａ数列.先看下面几个例子：例1　.（是定义在上的函数，当时，）.例2　.（是定义在上的函数，当时，）.例

7、3　.（是定义在上的函数，当时，）.由上述例子可见，对有些函数，当时，对应的函数值能趋于某个定数Ａ；但对有些函数却无此性质.所以有必要来研究当时，的变化趋势.我们称上述的第一类函数为当时以Ａ为极限，记作.和数列极限的描述性说法一样，这是一种描述性的说法.不是严格的数学定义.那么如何给出这类函数极限的精确定义呢？作如下分析：“当自变量越来越接近于时，函数值越来越接近于一个定数Ａ”只要充分接近，函数值和Ａ的相差就会相当小欲使相当小，只要充分接近就可以了.即对，当时，都有.此即.(二)时函数极限的定义定义2　设函数

8、在点的某个空心邻域内有定义，Ａ为定数，若对任给的，使得当时有，则称函数当趋于时以Ａ为极限（或称Ａ为时的极限），记作或（.(三)函数极限的定义的几点说明1、是结论，是条件，即由推出.2、是表示函数与Ａ的接近程度的.为了说明函数在的过程中，能够任意地接近于Ａ，必须是任意的.这即的第一个特性——任意性，即是变量；但一经给定之后，暂时就把看作是不变的了.以便通过寻找，使得当时成立.这即的第二特性——暂时固定