线性代数复习提纲.doc

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1、《线性代数》复习提纲第一部分：基本要求（计算方面）四阶行列式的计算；N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）；矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）；求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程；含参数的线性方程组解的情况的讨论；齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）；讨论一个向量能否用和向量组线性表示；讨论或证明向量组的相关性；求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示；求方阵的特征值和特征向量；第二部分：基本知识一、行列式1．行列式的定义用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。　（1）它表示所有可能的取自不同行不同

2、列的n个元素乘积的代数和；　（2）展开式共有n!项，其中符号正负各半；2．行列式的计算 一阶

3、α

4、=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则； N阶（n>=3）行列式的计算：降阶法定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。特殊情况上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；（2）行列式值为0的几种情况：Ⅰ　行列式某行（列）元素全为0；Ⅱ　行列式某行（列）的对应元素相同；Ⅲ　行列式某行（列）的元素对应成比例；二．矩阵　1．矩阵的基

5、本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）；　2．矩阵的运算（1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果；（2）关于乘法的几个结论：①矩阵乘法一般不满足交换律（若AB＝BA，称A、B是可交换矩阵）；②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在；③若A、B为同阶方阵，则

6、AB

7、=

8、A

9、*

10、B

11、；④

12、kA

13、=k^n

14、A

15、　3．矩阵的秩（1）定义　非零子式的最大阶数称为矩阵的秩；（2）秩的求法　　一般不用定义求，而用下面结论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）。求秩

16、：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。4．逆矩阵　（1）定义：A、B为n阶方阵，若AB＝BA＝I，称A可逆，B是A的逆矩阵（满足半边也成立）；　（2）性质：　(AB)^-1=(B^-1)*(A^-1)，(A')^-1=(A^-1)'；　（3）可逆的条件：　  ①　

17、A

18、≠0；　②r(A)=n;  ③A->I;（4）逆的求解伴随矩阵法　A^-1=(1/

19、A

20、)A*；(A*   A的伴随矩阵~)②初等变换法（A:I）->(施行初等变换)（I:A^-1）　 5．用逆矩阵求解矩阵方程：AX=B，则X=（A^-1）B；XB=A，则X=B(A^-1)；AXB=C，则X=(A^-

21、1)C(B^-1)三、线性方程组1．线性方程组解的判定定理：(1)r(A,b)≠r(A) 无解；(2)r(A,b)=r(A)=n 有唯一解；(3)r(A,b)=r(A)

22、A

23、≠0 只有零解(2)

24、A

25、=0  有非零解2．齐次线性方程组（1）解的情况：r(A)=n，（或系数行列式D≠0）只有零解；r(A)

26、法和步骤：　①将增广矩阵通过行初等变换化为最简阶梯阵；②写出对应同解方程组；③移项，利用自由未知数表示所有未知数；④表示出基础解系；⑤写出通解。3．非齐次线性方程组（1）解的情况：利用判定定理。（2）解的结构： X=u+c1α1+c2α2+…+Cn-rαn-r。（3）无穷多组解的求解方法和步骤：　与齐次线性方程组相同。（4）唯一解的解法：有克莱姆法则、逆矩阵法、消元法（初等变换法）。 向量组及其线性表示：（1）定义　若β=k1α1+k2α2+…+knαn，则称β是向量组α1，α2，…，αn的一个线性组合，或称β可以用向量组α1，α2，…，αn的一个线性表示。 （2

27、）判别方法　将向量组合成矩阵，记　A＝(α1，α2，…，αn)，B=(α1，α2，…，αn,β) 若　r (A)=r (B)，则β可以用向量组α1，α2，…，αn的一个线性表示；若　r (A)≠r (B)，则β不可以用向量组α1，α2，…，αn的一个线性表示。 （3）求线性表示表达式的方法：　将矩阵B施行行初等变换化为最简阶梯阵，则最后一列元素就是表示的系数。4．向量组的线性相关性（1）线性相关与线性无关的定义 设 k1α1+k2α2+…+knαn=0， 　若k1,k2,…，kn不全为0，称线性相关； 若k1,k2,…，kn全为0，称线性无关。（2）判别方法： ①

28、 r(α1