华师大版初中八年级数学上册反证法_教案1.docx

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1、反证法【教学目标】一、知识与技能1．通过实例，体会反证法的含义。2．了解反证法的基本步骤，会用反证法证明简单的命题。二、过程与方法通过利用反证法证明命题，体会逆向思维。三、情感、态度与价值观在观察、操作、推理等探索过程中，体验数学活动充满探索性和创造性；渗透事物之间的相互对立、相互矛盾、相互转化的辩证唯物主义思想。【教学重难点】1．重点：运用反证法进行推理论证。2．难点：理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”。【教学过程】一、创设情景，导入新课出示多媒体，展示《路旁苦李》的故事的动画场景，引入反证法的课题。二、师生互动，探究新知活动1：反证法的步骤。教师给出问题：如

2、果你当时也在场，你会怎么办？五戎是怎么判断李子是苦的？你认为他的判断正确吗？学生讨论交流，选代表发言。如果李子不是苦的，路旁的人很多，早就没有这么多李子。教师出示，若a2+b2≠c2（a≤b≤c），则△ABC不是直角三角形，你能按照刚才五戎的方法推理吗？学生活动，代表展示。若∠C是直角，则a2+b2=c2，而a2+b2≠c2，这是不可能的，即△ABC不是直角三角形。4/4教师归纳：先假设结论的反面是正确的；然后经过演绎推理，推出与基本事实、已证定理、定义或已知条件相矛盾；从而说明假设不成立，进而得出原命题正确。即：一、反设；二、推理得矛盾；三、假设不成立，原命题正

3、确。活动2：用反证法证明。教师活动：原命题结论的反向是什么？按照假设可以得到矛盾吗？学生活动：独立完成，交流成果，发言展示。教师活动：△ABC至少有一个内角小于或等于60°的反向是什么？按照假设可以推出矛盾吗？学生活动：独立完成，交流成果，发言展示。教师活动：在几何命题中涉及到有“至少”“至多”“唯一”时，直接不易证明，可考虑反证法。三、随堂练习，巩固新知1．（1）用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是钝角”时，首先应假设_________。 （2）“已知：△ABC中，AB=AC．求证：∠B<90°”。下面写出了用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤。①所

4、以∠B+∠C+∠A>180°。这与三角形内角和定理相矛盾。②所以∠B<90°。③假设∠B≥90°。④那么，由AB=AC，得∠B=∠C≥90°。即∠B+∠C≥180°。这四个步骤正确的顺序应是（　　）。A．①②③④；　　　　　B．③④②①；C．③④①②；D．④③②①。答案：（1）一个三角形中有两个角是钝角；4/4（2）C。例2：求证：△ABC中至少有两个角是锐角。答案：证明：假设△ABC中至多有一个锐角，则△ABC中有一个锐角或没有锐角。（1）当△ABC中只有一个锐角时，不妨设∠A为锐角，则∠B≥90°，∠C≥90°，所以∠A+∠B+∠C>180°，这与三角形内角和

5、定理相矛盾，所以△ABC中不可能只有一个锐角。（2）假设△ABC中没有锐角，则∠A≥90°，∠B≥90°，∠C≥90°，所以∠A+∠B+∠C>180°，这与三角形内角和定理相矛盾，所以△ABC中不可能没有锐角。由（1）、（2）得出假设不成立，从而原命题成立。综上所述，△ABC中至少有两个锐角。四、典例精析，拓展新知例：求证：在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。教师活动：（1）你首选的是哪一种证明方法？（2）如果你选择反证法，先怎样假设？结果和什么产生矛盾？（3）能不用反证法证明吗？你准备怎样证明？要求按问题解决的四个步骤进行：理

6、解题意（画出图形，写出已知求证）；制订计划（选择证明方法，找出证明思路）；执行计划（写出证明过程）。学生活动：讨论交流后独立完成。五、运用新知，深化理解例3：求证：若a>b>0，则>。解析：>的反面是=或<。答案：证明：假设不大于b，则=或<。（1）当=时，可得a=b，这与已知a>b矛盾，所以=，不成立。（2）当<时，∵a>0，b>0，4/4∴>0，>0，∴·<·，即a<。同理可证b矛盾。∴<不成立。综合（1）、（2）可知：>。若a、b、c是实数，A=a2-2b+，B=b2-2c+，C=c2-2a+，证明A．B．C中至少有一个值大于零。

7、答案：假设A、B、C中没有一个值大于零，则A≤0，B≤0，C≤0，即A+B+C≤0。由已知有A+B+C=a2-2b++b2-2c++c2-2a+=(a2-2a+1)+(b2-2b+1)+(c2-2c+1)+(π-3)=(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2+(π-3)。∵(a-1)2≥0，(b-1)2≥0，(c-1)2≥0，(π-3)≥0。∴A+B+C>0，这与假设A≤0，B≤0，C≤0相矛盾，所以A、B、C中至少有一个值大于零。六、师生互动，课堂小结这节课你学习了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上，教师总结。【教学反思】反证法是一种重

8、要的证题方