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1、配方法及其应用初一（）班学号：_______姓名：____________一、配方法：将一个式子变为完全平方式，称为配方，它是完全平方公式的逆用。配方法是一种重要的数学方法，它是恒等变形的重要手段，又是求最大最小值的常用方法，在数学中有广泛的应用。配方法是对数学式子进行一种定向变形(配成“完全平方”)的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简，何时配方需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方，有时也将其称为“凑配法”．配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋
2、b)2＝a2＋2ab＋b2，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；a2＋ab＋b2＝(a＋b)2－ab＝(a－b)2＋3ab＝＋；a2＋b2＋c2＋ab＋bc＋ca＝[(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋a)2]．下面举例说明配方法的应用：一、求字母的值【例1】已知a，b满足a2＋2b2－2ab－2b＋1＝0，求a＋2b的值．分析:可将含x,y的方程化为两个非负数和为0的形式,从而求出两个未知数的值.解：∵a2＋2b2－2ab－2b＋1＝0，∴a2＋b2－2
3、ab＋b2－2b＋1＝0，∴(a－b)2＋(b－1)2＝0.∵(a－b)2≥0，(b－1)2≥0，∴a－b＝0，b－1＝0，∴a＝1，b＝1，∴a＋2b＝1＋2×1＝3，∴a＋2b的值是3.变式练习：1、已知则x,y的值分别为______.6/62、已知a2＋b2＋4a－2b＋5＝0，则3a2＋5b2－4的值为______.3、已知，则x+y+z的值为______.4.已知，则的值为______.5、若a、b为有理数，且，则的值为______.6、已知a、b、c满足，，，则a+b+c的值为______．7、已知，则的值为
4、______.8.已知，则的值为______.二、证明字母相等【例2】已知a、b、c是△ABC的三边，且满足，判断这个三角形的形状．分析:等式两边乘以2,得配方，得即由非负数的性质得a-b=0,b-c=0,c-a=0,a=b,b=c,c=a,即a=b=c.故△ABC是等边三角形.变式练习：1、已知，求证：2、已知：a4＋b4＋c4＋d4＝4abcd，其中a，b，c，d是正数，求证：a=b=c=d。6/6三、比较大小【例3】若代数式则M-N的值()A.一定是负数B.一定是正数C.一定不是负数D.一定不是正数分析:M-N==
5、=故选B.变式练习：已知a、b满足等式，，则x，y的大小关系是（）A．B．C．D．四、证明代数式非负【例4】用配方法证明:不论x为任何实数,代数式的值恒大于0.分析：本题主要考查利用配方法说明代数式的值恒大于0,说明一个二次三项式恒大于0的方法是通过配方将二次三项式化成“+正数”的形式.证明:∵,又∵,∴∴不论x为任何实数,代数式的值恒大于0.变式练习：1、求证:不论x、y为何值,多项式的值永远大于或等于0。2、小萍说，无论x取何实数，代数式x2＋y2－10x＋8y＋42的值总是正数．你的看法如何？请谈谈你的理由．6/6
6、五、求代数式的最值【例5】利用配方法求的最大值或最小值.分析:求最大值或最小值,必须将它们化成的形式,然后再判断,当a＞0时,它有最小值c;当a＜0时,它有最大值c.解:∵∴∴它的最小值是-9.变式练习：1、证明：无论x取何实数值，代数式－x2－x－1的值总是负数，并求它的最大值．2、对关于x的二次三项式x2＋4x＋9进行配方得x2＋4x＋9＝(x＋m)2＋n.(1)求m，n的值；(2)当x为何值时x2＋4x＋9有最小值？并求最小值．3、当a，b为何值时，多项式a2＋2ab＋2b2＋6b＋18有最小值？并求出这个最小值．
7、6/6六、证明完全平方数【例6】已知9x2＋18(n－1)x＋9n2＋n是完全平方式，求常数n的值．解：9x2＋18(n－1)x＋9n2＋n＝9[x2＋2(n－1)x]＋9n2＋n＝9[x2＋2(n－1)x＋(n－1)2]－9(n－1)2＋9n2＋n＝[3(x＋n－1)]2－9(n－1)2＋9n2＋n.已知9x2＋18(n－1)x＋9n2＋n是一个完全平方式，∴－9(n－1)2＋9n2＋n＝0，化简，得19n-9＝0，解得n＝9/19.变式练习：1、一个自然数减去45后是一个完全平方数，这个自然数加上44后仍是一个完全平
8、方数，试求这个自然数__________．2、四个连续自然数的乘积加上1，一定是平方数吗？为什么？3、求证：五个连续整数的平方和不可能是一个整数的平方.6/65、（1）请观察：25=52，1225=352，112225=3352，1122225=33352…写出表示一般规律的等式，并加以证明．（2）26=52+12，
