2019_2020学年高中数学第5章两角和与差的正弦、余弦和正切公式第1课时两角差的余弦公式教学案新人教A版.docx

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1、第1课时　两角差的余弦公式(教师独具内容)课程标准：1.经历推导两角差的余弦公式的过程，知道两角差的余弦公式的意义.2.理解利用两点间的距离公式导出两角差的余弦公式的主要步骤.3.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算．教学重点：两角差的余弦公式的推导与运用．教学难点：两角差的余弦公式的推导过程.【知识导学】知识点　两角差的余弦公式(1)公式中的α，β都是任意角，可以为常量，也可以为变角．(2)公式右端的两部分为同名三角函数的积，连接符号与左边角的连接符号相反．【新知拓展】(1)逆用：c

2、osαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β)．(2)角变换后使用cosα＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ.(3)移项使用cosαcosβ＝cos(α－β)－sinαsinβ；sinαsinβ＝cos(α－β)－cosαcosβ.(4)特殊化使用导出诱导公式cos＝coscosα＋sinsinα＝sinα.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)cos(60°－30°)＝cos60°－cos30°.(　　)(2)对于任意实数α，β，cos(α－β)＝cos

3、α－cosβ都不成立．(　　)(3)对任意α，β∈R，cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ都成立．(　　)答案　(1)×　(2)×　(3)√2．做一做(1)cos30°cos60°＋sin30°sin60°等于(　　)A.B.C．－D．－(2)设α∈，若sinα＝，则cos等于(　　)A.B.C．－D．－(3)cos15°＝________.(4)已知cosα＝，α∈，则cos＝________.答案　(1)B　(2)A　(3)　(4)题型一给角求值例1　计算：(1)cos15°cos105°＋si

4、n15°sin105°；(2)cos(β－15°)cos(β＋15°)＋sin(β－15°)sin(β＋15°)；(3)sin75°.[解]　(1)原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝0.(2)原式＝cos[(β－15°)－(β＋15°)]＝cos(－30°)＝cos30°＝.(3)sin75°＝cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝×＋×＝.金版点睛两角差的余弦公式常见题型及解法(1)两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式直接展开求解．(

5、2)含有常数的式子，先将常数转化为特殊角的三角函数值，再利用两角差的余弦公式求解．(3)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的差，然后利用两角差的余弦公式求解．　求下列各式的值：(1)cos75°cos15°－sin75°sin195°；(2)sin46°cos14°＋sin44°cos76°；(3)cos105°＋sin105°.解　(1)cos75°cos15°－sin75°sin195°＝cos75°cos15°－sin75°sin(180°＋15°)＝cos75°cos15°＋sin75°si

6、n15°＝cos(75°－15°)＝cos60°＝.(2)sin46°cos14°＋sin44°cos76°＝sin(90°－44°)cos14°＋sin44°cos(90°－14°)＝cos44°cos14°＋sin44°sin14°＝cos(44°－14°)＝cos30°＝.(3)cos105°＋sin105°＝cos60°cos105°＋sin60°sin105°＝cos(60°－105°)＝cos(－45°)＝.题型二给值(式)求值例2　(1)已知tanθ＝，θ∈，求cos；(2)已知α，β为锐角，且cos

7、α＝，cos(α＋β)＝－，求cosβ的值．[解]　(1)∵tanθ＝＝，且sin2θ＋cos2θ＝1，θ∈，sinθ>0，cosθ>0，解得sinθ＝，cosθ＝.∴cos＝coscosθ＋sinsinθ＝×＋×＝.(2)∵0<α<，0<β<，∴0<α＋β<π.由cos(α＋β)＝－，得sin(α＋β)＝.又∵cosα＝，∴sinα＝.∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝×＋×＝.[结论探究]　若将本例(2)条件不变，求sinβ的值．解　∵α，β为锐角，∴0<

8、α＋β<π，又cos(α＋β)＝－，∴sin(α＋β)＝，由cosα＝，α为锐角，∴sinα＝，cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝.又∵β为锐角，∴sinβ＝＝.金版点睛给值(式)求值问题的解题策略(1)从角的关系中找解题思路：已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式