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时间:2020-02-25
《(新高考)2020高考数学二轮复习大题考法专训(七)导数与函数的单调性、极值、最值.docx》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、大题考法专训(七)导数与函数的单调性、极值、最值A级——中档题保分练1.(2019·济南模拟)已知函数f(x)=asinx+bcosx(a,b∈R),曲线y=f(x)在点处的切线方程为y=x-.(1)求a,b的值;(2)求函数g(x)=在上的最小值.解:(1)由切线方程知,当x=时,y=0,∴f=a+b=0.∵f′(x)=acosx-bsinx,∴由切线方程知,f′=a-b=1.∴a=,b=-.(2)由(1)知,f(x)=sinx-cosx=sin.∴g(x)=,g′(x)=.设u(x)=xcosx-sinx,则u′(x)=-xsinx<0,故u(x)在上单调递减.∴u(x)<
2、u(0)=0,∴g(x)在上单调递减.∴g(x)在上的最小值为g=.2.已知函数f(x)=xex-a(a∈R).(1)若a=0,求曲线y=f(x)在点(1,e)处的切线方程;(2)当a>0时,求函数f(x)的单调区间.解:(1)当a=0时,f′(x)=(x+1)ex,所以切线的斜率k=f′(1)=2e.又f(1)=e,所以y=f(x)在点(1,e)处的切线方程为y-e=2e(x-1),即2ex-y-e=0.(2)f′(x)=(x+1)(ex-a),令f′(x)=0,得x=-1或x=lna.①当a=时,f′(x)≥0恒成立,所以f(x)在R上单调递增.②当0<a<时,lna<-1
3、,由f′(x)>0,得x<lna或x>-1;由f′(x)<0,得lna<x<-1,所以函数f(x)的单调递增区间为(-∞,lna),(-1,+∞),单调递减区间为(lna,-1).③当a>时,lna>-1,由f′(x)>0,得x<-1或x>lna;由f′(x)<0,得-1<x<lna,所以函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-1),(lna,+∞),单调递减区间为(-1,lna).综上所述,当a=时,函数f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞);当0<a<时,函数f(x)的单调递增区间为(-∞,lna),(-1,+∞),单调递减区间为(lna,-1);当a>时,函数f(x)的单调
4、递增区间为(-∞,-1),(lna,+∞),单调递减区间为(-1,lna).3.已知函数f(x)=x2-(a+1)x+alnx+1,a∈R.(1)若x=3是f(x)的极值点,求f(x)的极大值;(2)求a的取值范围,使得f(x)≥1恒成立.解:(1)f′(x)=x-(a+1)+(x>0).∵x=3是f(x)的极值点,∴f′(3)=3-(a+1)+=0,解得a=3.当a=3时,f′(x)==.当x变化时,f′(x),f(x)的变化见下表:x(0,1)1(1,3)3(3,+∞)f′(x)+0-0+f(x)极大值极小值∴f(x)的极大值为f(1)=-.(2)要使f(x)≥1恒成
5、立,即x>0时,x2-(a+1)x+alnx≥0恒成立.设g(x)=x2-(a+1)x+alnx,则g′(x)=x-(a+1)+=.①当a≤0时,由g′(x)<0得g(x)的单调递减区间为(0,1),由g′(x)>0得g(x)的单调递增区间为(1,+∞),∴g(x)min=g(1)=-a-≥0,解得a≤-.②当0<a<1时,由g′(x)<0得g(x)的单调递减区间为(a,1),由g′(x)>0得g(x)的单调递增区间为(0,a),(1,+∞),此时g(1)=-a-<0,不合题意.③当a=1时,g(x)在(0,+∞)上单调递增,此时g(1)=-a-<0,不合题意.④当a>1时,由
6、g′(x)<0得g(x)的单调递减区间为(1,a),由g′(x)>0得g(x)的单调递增区间为(0,1),(a,+∞),此时g(1)=-a-<0,不合题意.综上所述,若满足f(x)≥1恒成立,a的取值范围为.B级——拔高题满分练1.已知函数f(x)=lnx,g(x)=ax2+2x(a≠0).(1)若函数h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间,求实数a的取值范围;(2)若函数h(x)=f(x)-g(x)在[1,4]上单调递减,求实数a的取值范围.解:(1)h(x)=lnx-ax2-2x,x∈(0,+∞),则h′(x)=-ax-2.由h(x)在(0,+∞)上存在单调递减区间,
7、知当x∈(0,+∞)时,-ax-2<0有解,即a>-有解.设G(x)=-,则只要a>G(x)min即可,而G(x)=2-1,所以G(x)min=-1,所以a>-1,即实数a的取值范围为(-1,+∞).(2)由h(x)在[1,4]上单调递减,得当x∈[1,4]时,h′(x)=-ax-2≤0恒成立,即a≥-恒成立.设G(x)=-,则a≥G(x)max,而G(x)=2-1.又x∈[1,4],所以∈,所以G(x)max=-(此时x=4),所以a≥-,即实数a的取值范围为.2.(2019·银川模拟)已
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