5-2刚体动力学.ppt

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1、设刚体绕固定轴Oz以角速度转动,各体元的质量分别为m1,m2,…,mn,各体元到转轴Oz的距离依次是r1,r2,…,rn。n个体元绕Oz轴作圆周运动的动能的总和为：一、刚体的转动动能(Rotationalkineticenergy)§5-2刚体动力学1式中称为刚体对转轴的转动惯量。代入动能公式中,得到刚体转动动能的一般表达式刚体转动动能与质点运动动能在表达形式上是相似性的。用J表示：2二、刚体的转动惯量(Momentofinertia)从转动动能公式看到,刚体的转动惯量J与质点的质量m相对应。在质点运动中,质点的质量是质点惯性

2、的量度。在刚体转动中,刚体的转动惯量是刚体转动惯性的量度。若刚体的质量连续分布,转动惯量中的求和号用积分号代替与转动惯量有关的因素：刚体的质量、转轴的位置、刚体的形状。3回转半径一个实际刚体的转动惯量，可用一个等效刚体的转动惯量来表示。这个刚体可看成是所有的质量集中在距转轴为的地方，称为该刚体的回转半径（图5－11）。回转半径可用来形象了解一个刚体的转动惯量。根据转动惯量的定义，回转半径为：式中为刚体的总质量。4几种常见形状的刚体的转动惯量56例1：一根质量为m=1.0kg、长为l=1.0m的均匀细棒,绕通过棒的中心并与棒相垂直的转轴

3、以角速度=63rads-1旋转,求转动动能。解：先求细棒对转轴的转动惯量J,然后求转动动能Ek。将棒的中点取为坐标原点,建立坐标系Oxy,取y轴为转轴,如图所示。在距离转轴为x处取棒元dx,其质量为xdxxyo7根据式(5-4),应有棒的转动动能为8例2计算质量为m，长为l的细棒绕一端的转动惯量。oxz解：dxdmxO对质量均匀分布的门对门轴的转动惯量也相同。9例5-3如图半圆形匀质细杆，半径为质量为过圆心和圆弧中点，试求细杆对轴的转动惯量。解在细杆上选一质量微元：质量微元到转轴的转动半径：整个刚体的转动惯量：10oR例4一质量为

4、m，半径为R的均匀圆盘，求对通过盘中心并与盘面垂直的轴的转动惯量。解：rdr11两个定理1.平行轴定理式中JC为刚体对通过质心的轴的转动惯量,m是刚体的质量，d是两平行轴之间的距离。2.垂直轴定理若z轴垂直于厚度为无限小的刚体薄板板面,xy平面与板面重合,则此刚体薄板对三个坐标轴的转动惯量有如下关系mRJz12解：两平行轴的距离,代入平行轴定理，得例5：在上一例题中,对于均匀细棒,我们已求得对通过棒心并与棒垂直的轴的转动惯量为求对通过棒端并与棒垂直的轴的J。13·Roxy例6：求质量为m、半径为R的均质薄圆盘对通过盘心并处于盘面内的轴

5、的转动惯量。解：盘的质量分布均匀,盘的质量面密度为取半径为r、宽为dr的圆环如图所示，其质量为圆盘对Oz轴(过O点垂直于纸面)的转动惯量为rdr14根据垂直轴定理由于对称性,,所以解得15例7计算钟摆的转动惯量。（已知：摆锤质量为m，半径为r，摆杆质量也为m，长度为2r。）rO解：摆杆转动惯量：摆锤转动惯量：16力矩的功：当刚体在外力矩作用下绕定轴转动而发生角位移时，就称力矩对刚体作功。力对P点作功：O′O三、力矩的功17因力矩作功：对于刚体定轴转动情形，因质点间无相对位移，任何一对内力作功为零。O′O18力矩作的功在刚体转动中,如果

6、力矩的作用使刚体发生了角位移,那么该力矩也作了功。因为dsi=rid,并且cosi=sini,所以假设作用于以z轴为转轴的刚体上的多个外力分别是在刚体转动中,外力所作的元功为19式中Mzi是外力Fi对转轴Oz的力矩。在整个刚体转过d角的过程中，n个外力所作的总功为式中是作用于刚体的所有外力对Oz轴的力矩的代数和,也就是作用于刚体的外力对转轴的合外力矩Mz。20如果刚体在力矩Mz的作用下绕固定轴从位置1转到2,在此过程中力矩所作的功为力矩的瞬时功率可以表示为式中是刚体绕转轴的角速度。21四、动能定理(theoremofki

7、neticenergy)根据功能原理,外力和非保守内力对系统作的总功等于系统机械能的增量。对于刚体一切内力所作的功都为零。对定轴转动的刚体,外力的功即为外力矩所作的功;系统的机械能为刚体的转动动能。将转动动能的具体形式代入上式并积分,得22定轴转动的刚体,外力矩作的功等于刚体转动动能的增量。这就是作定轴转动刚体的动能定理。五、转动定理(Theoremofrotation)将力矩作功和转动动能的具体形式代入式子得23在定轴转动中,刚体相对于某转轴的转动惯量与角加速度的乘积,等于作用于刚体的外力相对同一转轴的合力矩。转动定理和牛顿第二定律

8、在数学形式上是相似的,合外力矩与合外力相对应,转动惯量与质量相对应,角加速度与加速度相对应。m反映质点的平动惯性，J反映刚体的转动惯性。或者写为上式就是转动定理的数学表达式。24刚体的平动和定轴转动中的一些重要公式刚体的