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《2015考研数学三真题及解析.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题解析一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)设是数列,下列命题中不正确的是()(A)若,则(B)若,则(C)若,则(D)若,则【答案】(D)【解析】答案为D,本题考查数列极限与子列极限的关系.数列对任意的子列均有,所以A、B、C正确；D错(D选项缺少的敛散性),故选D(2)设函数在内连续,其2阶导函数的图形如右图所示,则曲线的拐点个数为()(A
2、)(B)(C)(D)【答案】(C)【解析】根据拐点的必要条件，拐点可能是不存在的点或的点处产生.所以有三个点可能是拐点，根据拐点的定义，即凹凸性改变的点；二阶导函数符号发生改变的点即为拐点.所以从图可知，拐点个数为2，故选C.(3)设,函数在上连续,则()15(A)(B)(C)(D)【答案】(B)【解析】根据图可得，在极坐标系下该二重积分要分成两个积分区域所以，故选B.(4)下列级数中发散的是()(A)(B)(C)(D)【答案】(C)【解析】A为正项级数，因为，所以根据正项级数的比值判别法收敛；
3、B为正项级数，因为，根据级数收敛准则，知15收敛；C，，根据莱布尼茨判别法知收敛，发散，所以根据级数收敛定义知，发散；D为正项级数，因为，所以根据正项级数的比值判别法收敛，所以选C.(5)设矩阵,.若集合，则线性方程组有无穷多解的充分必要条件为()(A)(B)(C)(D)【答案】(D)【解析】，由，故或，同时或.故选（D）(6)设二次型在正交变换下的标准形为，其中，若则在正交变换下的标准形为()(A)(B)(C)(D)15【答案】(A)【解析】由，故.且.又因为故有所以.选（A）(7)若为任意两
4、个随机事件,则:()(A)(B)(C)(D)【答案】(C)【解析】由于，按概率的基本性质，我们有且，从而，选(C).(8)设总体为来自该总体的简单随机样本,为样本均值,则()(A)(B)(C)(D)15【答案】(B)【解析】根据样本方差的性质，而，从而，选(B).二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.(9)【答案】【解析】原极限(10)设函数连续，若则【答案】【解析】因为连续，所以可导，所以；因为，所以又因为，所以故(11)若函数由方程确定，则【答案】【解析
5、】当，时带入，得.对求微分，得15把，，代入上式，得所以(12)设函数是微分方程的解，且在处取得极值3，则【答案】【解析】的特征方程为，特征根为，，所以该齐次微分方程的通解为，因为可导，所以为驻点，即，，所以，，故(13)设3阶矩阵的特征值为，其中E为3阶单位矩阵，则行列式【答案】【解析】的所有特征值为的所有特征值为所以.(14)设二维随机变量服从正态分布，则【答案】【解析】由题设知，，而且相互独立，从而15.三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明
6、、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分)设函数.若与在时是等价无穷小，求的值.【答案】【解析】法一：因为，，则有，，可得：，所以，．法二：由已知可得得由分母，得分子，求得c；15于是由分母，得分子，求得；进一步，b值代入原式，求得(16)(本题满分10分)计算二重积分，其中【答案】【解析】15(17)(本题满分10分)为了实现利润的最大化，厂商需要对某商品确定其定价模型，设为该商品的需求量，为价格，MC为边际成本，为需求弹性.(I)证明定价模型为；(II)若该商品的成本函数为，需求函数为
7、，试由（I）中的定价模型确定此商品的价格.【答案】(I)略(II).【解析】(I)由于利润函数,两边对求导，得.当且仅当时，利润最大，又由于,所以,故当时，利润最大.(II)由于,则15代入(I)中的定价模型，得,从而解得.(18)(本题满分10分)设函数在定义域上的导数大于零，若对任意的，曲线在点处的切线与直线及轴所围成区域的面积恒为4，且，求表达式.【答案】【解析】曲线的切线方程为，切线与轴的交点为故面积为：.故满足的方程为,此为可分离变量的微分方程,解得，又由于，带入可得，从而(19)(本
8、题满分10分)（I）设函数可导，利用导数定义证明（II）设函数可导，，写出的求导公式.【答案】【解析】（I）15（II）由题意得(20)(本题满分11分)设矩阵，且.(I)求的值；(II)若矩阵满足，其中为3阶单位矩阵，求.【答案】【解析】(I)(II)由题意知，15(21)(本题满分11分)设矩阵相似于矩阵.(I)求的值；（II）求可逆矩阵，使为对角矩阵.【答案】【解析】(1)15的特征值时的基础解系为时的基础解系为A的特征值令，(22)(本题满分11分)设随机变量的概率密度为,对进行独立重复
