6一维定态的一般性质 自由粒子本征函数的规格化和箱归一化.ppt

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1、§2-6一维定态的一般性质一维定态薛定谔方程为定理1：设是一维定态薛定谔方程的解，则它的复共轭也是该方程的一个解，且与对应同一能量本征值。证明：上式两边取复共轭，且考虑到，则定理得证。定理2：对于一维定态薛定谔方程，如果和是对应于同一个能量本征值的两个独立的解，则有（与无关的常数）证明：上面两式两边分别乘以和，然后相减，得定理得证。定理3：对于一维定态薛定谔方程，能级的简并度最大为2。证明：设对于同一能量本征值，存在三个独立的波函数，则令，则即与假设矛盾。定理得证。定理4：对一维束缚定态，所有能级都不简并。证明：设对于同一能量本征值，存在两个独立的波函数，则对束缚态

2、：所以两者代表同一个量子态，因此能级不简并。定理得证。定理5：一维束缚态的本征函数可以是实数。证明：由定理1得，和都是薛定谔方程的解。由定理4得，它们最多相差一常数因子，即取复共轭所以取，则即本征函数可以取实数。定理得证。定理6：设势能具有空间反演不变性，即。若是一维定态薛定谔方程的一个解，则也一定是对应同一个能量本征值的另一个解。证明：考虑到，得作代换，则定理得证。定理7：对于一维定态问题，假设势能具有空间反演不变性，则任一个属于能量本征值的束缚态都有确定的宇称。证明：由定理4和定理6，得作代换，则偶宇称；奇宇称。定理得证。定理8：如图所示，在一维情况下，若在点不

3、连续，且、有限，则在点及仍连续。证明：对上式作运算，得第一项第二项所以又因为所以定理得证。§2-7自由粒子本征函数的规格化和箱归一化一、自由粒子波函数的规格化二、本征函数的箱归一化§2-7自由粒子本征函数的规格化和箱归一化自由粒子是在运动过程中不受外力作用的粒子，即。一、自由粒子波函数的规格化1．一维情况首先，讨论的情况。令，则方程的解故方程无解。（动能不能小于零）显然，当时，当时，不能满足波函数有限性的要求；不能满足波函数有限性的要求；令，则两个特解其次，讨论的情况。若的取值范围选为从负无穷到正无穷，则两式统一成它是能量的本征函数，相应的能量本征值为由于取值连续，

4、所以能量本征值可以连续取值。除基态外能量本征值二度简并。显然，表示动量。表示粒子向右运动；0

5、动，则它的波函数是归一化的。当L的值很大时，可作为粒子在无穷大范围内运动的一个近似。显然，动量和能量的本征值都是断续的。显然，随着箱尺度的增大，能级的间距变小。当时，能级的间距趋向于零，或者说能级变成连续的，这正与自由粒子能量本征值是连续的相吻合。归一化自由粒子的能量本征函数在无穷远处不为零，这种状态称为非束缚态。箱中的粒子的能量本征函数在无穷远处为零，这种状态称为束缚态。一般说来，连续谱对应非束缚态，而断续谱对应束缚态。2．三维情况