高考数学专题讲义函数性质.doc

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1、.专业.专注.第三讲函数性质★★★高考在考什么【考题回放】1．(江苏)设函数定义在实数集上，它的图像关于直线对称，且当时，，则有（　B　）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．2．(江苏)设是奇函数，则使的的取值范围是（　A　）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．3．（安徽卷）定义在上的函数既是奇函数，又是周期函数，是它的一个正周期．若将方程在闭区间上的根的个数记为，则可能为（Ｄ）A．0B．1C．3D．54．(北京)对于函数①，②，③，判断如下三个命题的真假：命题甲：是偶函数；命题乙：在上是减函数，在上是增函数；命题丙：在上是增函数．能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（　Ｄ　）Ａ．①③Ｂ．①

2、②Ｃ．③Ｄ．②5．(辽宁)已知与是定义在上的连续函数，如果与仅当时的函数值为0，且，那么下列情形不可能出现的是（）A．0是的极大值，也是的极大值B．0是的极小值，也是.word完美格式..专业.专注.的极小值C．0是的极大值，但不是的极值D．0是的极小值，但不是的值6．（天津卷）若函数在区间内单调递增，则a的取值范围是★★★高考要考什么一、单调性：1.定义：一般地，（1）对于给定区间上的函数f（x），如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x1、x2，（2）当x1＜x2时，（3）都有f（x1）＜f（x2）〔或都有f（x1）＞f（x2）〕，那么就说（4）f（x

3、）在这个区间上是增函数（或减函数）.要注意定义引申：（1）、（2）、（4）（3）；（1）、（3）、（4）（2）如：是定义在上的递减区间，且<，则x的取值范围_____二、奇偶性：1.优先考虑定义域：定义域关于原点对称是具体奇偶性的必要条件。2.奇函数在处有意义，则。3.奇函数在对称区间上单调性一致，偶函数在对称区间上单调性相反。三、周期性：1.若，则的周期是＿＿＿＿；2.若，则的周期是＿＿＿＿；3.若，则的周期是＿＿＿＿；4.若是偶函数，且图象关于对称，则的周期是＿＿＿＿；★★★突破重难点【范例1】设函数定义在R上，对于任意实数，总有.word完美格式..专

4、业.专注.，且当时，。（1）证明：，且时（2）证明：函数在R上单调递减（3）设，若，确定的取值范围。（1）解：令，则，对于任意实数恒成立，设，则，由得，当时，当时,,（2）证法一：设，则，,函数为减函数证法二：设，则=,故,函数为减函数（3）解：∵，∴若，则圆心到直线的距离应满足，解之得，变式：已知定义在R上的函数满足：，当x＜0时，。（1）求证：为奇函数；（2）求证：为R上的增函数；（3）解关于x的不等式：。（其中且a为常数）.word完美格式..专业.专注.解：（1）由，令，得：，即再令，即，得：是奇函数………………4分（2）设，且，则由已知得：即在R上

5、是增函数………………8分（3）即当，即时，不等式解集为当，即时，不等式解集为当，即时，不等式解集为………………13分【范例2】已知f(x)=(x∈R)在区间[－1，1]上是增函数.，（1）求实数a的值组成的集合A；.word完美格式..专业.专注.（2）设关于x的方程f(x)=的两个非零实根为x1、x2.试问：是否存在实数m，使得不等式m2+tm+1≥

6、x1－x2

7、对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由.解：（1）f＇(x)==，∵f(x)在[－1，1]上是增函数，∴f＇(x)≥0对x∈[－1，1]恒成立，即x2－

8、ax－2≤0对x∈[－1，1]恒成立.①设j(x)=x2－ax－2，①－1≤a≤1，∵对x∈[－1，1]，f(x)是连续函数，且只有当a=1时，f＇(-1)=0以及当a=－1时，f＇(1)=0∴A={a

9、－1≤a≤1}.（2）由=，得x2－ax－2=0，∵△=a2+8>0∴x1，x2是方程x2－ax－2=0的两非零实根，x1+x2=a，∴从而

10、x1－x2

11、==.x1x2=－2，∵－1≤a≤1，∴

12、x1-x2

13、=≤3.要使不等式m2+tm+1≥

14、x1－x2

15、对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，.word完美格式..专业.专注.当且仅当m2+tm+1≥3对任意

16、t∈[－1，1]恒成立，即m2+tm－2≥0对任意t∈[－1，1]恒成立.②设g(t)=m2+tm－2=mt+(m2－2)，方法一：g(－1)=m2－m－2≥0，②g(1)=m2+m－2≥0，m≥2或m≤－2.所以，存在实数m，使不等式m2+tm+1≥

17、x1－x2

18、对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，其取值范围是{m

19、m≥2，或m≤－2}.方法二：当m=0时，②显然不成立；当m≠0时，m>0，m<0，②或g(－1)=m2－m－2≥0g(1)=m2+m－2≥0m≥2或m≤－2.所以，存在实数m，使不等式m2+tm+1≥

20、x1－x2

21、对任意a∈A及t∈[-1，

22、1]恒成立，其取值范围是{m

23、m≥2，或m≤－2}.