全国初中数学联赛试题详解.doc

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1、2012年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知，，，那么的大小关系是（C）A.B.C.D.解答：，，，由显然：2．方程的整数解的组数为（B）A．3.B．4.C．5.D．6.解答：由0、1、2、3、4、5、6的平分别是0、1、4、9、16、25、36知唯有16+29=34故得共4组解。3．已知正方形ABCD的边长为1，E为BC边的延长线上一点，CE＝1，连接AE，与CD交于点F，连接BF并延长与线段DE交于点G，则BG的长为（D）A．B．C．D．解答：如图，做GH⊥BE于H，易证Rt△

2、ABE∽Rt△GHB，设GH=a，则HE=a，BH=2-a，由，故BG=。4．已知实数满足，则的最小值为（B）A．.B．0.C．1.D．.解答：考查以ab整体为自变量的函数的图像为抛物线其对称轴为由知又，故当时，函数取最小值0。5．若方程的两个不相等的实数根满足，则实数的所有可能的值之和为（B）A．0.B．.C．.D．.解答：方程两个不相等的实数根故。满足故=由得即=4整理得解得∵∴.6．由1，2，3，4这四个数字组成四位数（数字可重复使用），要求满足.这样的四位数共有（C）A．36个.B．40个.C．44个.D．48个.解答：分为4

3、类：1）由同一个数字组成如1111共4个数2）由两个不同数字组成如1221112221122211而从4个数里面取2个共六种取法故此类可构成46=24个数3）由三个不同数字组成如1232321221232321此类只有两种组合即1+3=2+2和2+4=3+3故可构成24=8个数4）由四个不同数字组成如12431342421343122134243131243421共8个综上所有的数共4+24+8+8=44个二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知互不相等的实数满足，则．解答：由得，，整理得即同理得：若，则为二次方程的解这与互

4、不相等矛盾，不满足题意，故即2．使得是完全平方数的整数的个数为1．解答：=，由题知为完全平方数，故设1）若得2）不合题意。综上符合题意的只有一个。3．在△ABC中，已知AB＝AC，∠A＝40°，P为AB上一点，∠ACP＝20°，则＝．解答：如上图，作AD⊥BC于点D，交CP于点F，在AD上找点D，使∠ECD＝30°，如上图，∵∠1＝∠2=∠BAC=20°，∠3=20°∴∠4=70°-20°-30°=20°∴AF=FC,△APF≌△CEF.在Rt△DEC中，故4．已知实数满足，，，则＝．解答：同理：故化简得：解得：由得：第二试（A）一、

5、（本题满分20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为30，求它的外接圆的面积.解设直角三角形的三边长分别为（），则.显然，三角形的外接圆的直径即为斜边长，下面先求的值.由及得，所以.由及得，所以.又因为为整数，所以.根据勾股定理可得，把代入，化简得，所以，因为均为整数且，所以只可能是解得所以，直角三角形的斜边长，三角形的外接圆的面积为.二．（本题满分25分）如图，PA为⊙O的切线，PBC为⊙O的割线，AD⊥OP于点D.证明：.证明：连接OA，OB，OC.∵OA⊥AP，AD⊥OP，∴由射影定理可得，.又由切割线定理可得，∴，∴D、B、

6、C、O四点共圆，∴∠PDB＝∠PCO＝∠OBC＝∠ODC，∠PBD＝∠COD，∴△PBD∽△COD，∴，∴.三．（本题满分25分）已知抛物线的顶点为P，与轴的正半轴交于A、B（）两点，与轴交于点C，PA是△ABC的外接圆的切线.设M，若AM//BC，求抛物线的解析式.解易求得点P，点C.设△ABC的外接圆的圆心为D，则点P和点D都在线段AB的垂直平分线上，设点D的坐标为.显然，是一元二次方程的两根，所以，，又AB的中点E的坐标为，所以AE＝.因为PA为⊙D的切线，所以PA⊥AD，又AE⊥PD，所以由射影定理可得，即，又易知，所以可得.

7、又由DA＝DC得，即，把代入后可解得（另一解舍去）.又因为AM//BC，所以，即.把代入解得（另一解舍去）.因此，抛物线的解析式为.第二试（B）一．（本题满分20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为60，求它的外接圆的面积.解设直角三角形的三边长分别为（），则.显然，三角形的外接圆的直径即为斜边长，下面先求的值.由及得，所以.由及得，所以.又因为为整数，所以.根据勾股定理可得，把代入，化简得，所以，因为均为整数且，所以只可能是或解得或当时，，三角形的外接圆的面积为；当时，，三角形的外接圆的面积为.二．（本题满分25分）如图，PA为

8、⊙O的切线，PBC为⊙O的割线，AD⊥OP于点D，△ADC的外接圆与BC的另一个交点为E.证明：∠BAE＝∠ACB.证明：连接OA，OB，OC，BD.∵OA⊥AP，AD⊥OP，∴由射影定理可得，.又由切割线定理可得，∴，