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1、2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征第二章 统 计学习导航学习目标重点难点重点:求样本的众数、中位数、平均数、标准差、方差.难点:准确求出样本的数字特征,并理解其意义.新知初探·思维启动1.众数、中位数、平均数(1)众数、中位数、平均数的概念①众数:在一组数据中,出现次数最多的数据(即频率分布最大值所对应的样本数据)叫这组数据的众数.若有两个或两个以上的数据出现得最多,且出现的次数一样,则这些数据都叫众数;若一组数据中每个数据出现的次数一样多,则没有众数.②中位数:将一组数据按大小依次排列,把处在最中间位置的一
2、个数据(或中间两个数据的平均数)叫这组数据的中位数.(2)众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系众数众数是最高矩形的中点所对应的数据,表示样本数据的中心值中位数①在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图面积相等,由此可以估计中位数的值,但是有偏差;②表示样本数据所占频率的等分线平均数①平均数等于每个小长方形的面积乘以小长形底边中点的横坐标之和;②平均数是频率分布直方图的重心,是频率分布直方图的平衡点(3)三种数字特征的比较名称优点缺点众数①体现了样本数据的最大集中点;②容易计算①它只能表达样本数据中很少的一部分
3、信息;②无法客观地反映总体的特征名称优点缺点中位数①不受少数几个极端数据(即排序靠前或靠后的数据)的影响;②容易计算,便于利用中间数据的信息对极端值不敏感名称优点缺点平均数代表性较好,是反映数据集中趋势的量.一般情况下,可以反映出更多的关于样本数据全体的信息任何一个数据的改变都会引起平均数的改变.数据越“离群”,对平均数的影响越大做一做已知一组数据为－3,5,7,x,11,且这组数据的众数为5,那么数据的中位数是()A.7B.5C.6D.11解析:选B.由题意知x＝5,所以中位数为5.2.方差与标准差(1)相关概念s2
4、a2s2a2s2想一想下列一组数:1、5、6、6、8、8、9、10、12、15,其众数、中位数、平均数、方差各是多少？若去掉1和15,这些数有什么变化？说明什么问题？提示:原数据的众数是6和8,中位数是8,平均数为8,方差为13.6.去掉1和15后,众数、中位数、平均数都没变化,而方差为4.75.说明方差更能体现数据的稳定性,方差越小,数据变化越稳定.典题例证·技法归纳题型一 众数、中位数、平均数的综合应用某工厂人员及工资构成如下表:题型探究例1人员经理管理人员高级技工工人学徒合计周工资2200250220200100
5、人数16510123合计22001500110020001006900(1)指出这个工厂人员周工资的众数、中位数、平均数;(2)这个问题中,平均数能客观地反映该工厂人员的工资水平吗？为什么？【解】(1)由表格可知:众数为200,中位数为220.平均数为(2200＋250×6＋220×5＋200×10＋100)÷23＝(2200＋1500＋1100＋2000＋100)÷23＝6900÷23＝300.(2)虽然平均数为300,但由表格中所列出的数据可知,只有经理在平均数以上,其余人员的工资都在平均数以下,故用平均数不能客观
6、地反映该工厂的工资水平.【名师点评】极端值影响平均数,故平均数有时不能代表事实情况.变式训练1.某校甲班、乙班各有49名学生,两班在一次数学测验中的成绩(满分100分)统计如下表:班级平均分众数中位数标准差甲班79708719.8乙班7970795.2(1)请你对下面的一段话给予简要分析:甲班的小刚回家对妈妈说:“昨天的数学测验,全班平均79分,得70分的人最多,我得了85分,在班里算是上游了！”(2)请你根据表中数据,对这两个班的测验情况进行简要分析,并提出教学建议.解:(1)由中位数可知,85分排在第25名之后,从
7、名次上讲,85分不算是上游.但也不能单以名次来判断学习成绩的好坏,小刚得了85分,说明他对这阶段的学习内容掌握较好.(2)甲班学生成绩的中位数为87分,说明高于或等于87分的学生占一半以上,而平均分为79分,标准差很大,说明低分也多,两极分化严重,建议对学习有困难的同学多给一些帮助;乙班学生成绩的中位数和平均分均为79分,标准差小,说明学生成绩之间差别较小,成绩很差的学生少,但成绩优异的学生也很少,建议采取措施提高优秀率.题型二 由频率分布图求众数、中位数、平均数(本题满分12分)已知一组数据:125121123125
8、127129125128130129126124125127126122124125126128(1)填写下面的频率分布表:例2分组频数频率[120.5,122.5)[122.5,124.5)[124.5,126.5)[126.5,128.5)[128.5,130.5]合计(2)作出频率分布直方图;(3)根据直方图或频率分布表求这
