2019_2020学年高中数学第二章基本初等函数（Ⅰ）2.3幂函数教案新人教A版必修1.docx

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1、2．3幂函数[目标]1.记住幂函数的定义，熟悉α＝1,2,3，，－1时幂函数的图象及性质；2.记住幂函数的性质，并会用性质解决有关问题．[重点]幂函数的定义、图象和性质．[难点]利用幂函数的性质解决有关问题.知识点一　　幂函数的概念[填一填]一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．[答一答]1．下列函数：①y＝2x3；②y＝x2＋1；③y＝(x＋1)3是幂函数吗？提示：它们都不满足幂函数的定义，所以都不是幂函数．2．幂函数y＝xα与指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)有何区别？提示：幂函数y＝xα的底数是自变

2、量，指数是常数，而指数函数正好相反，指数函数y＝ax中，底数是常数，指数是自变量．知识点二　　幂函数的图象[填一填]五种常见幂函数的图象幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x的图象如下图．[答一答]3．幂函数y＝xα的图象在第一象限内有何特征？提示：(1)α>1，图象过点(0,0)，(1,1)，下凸递增，如y＝x2.(2)0<α<1，图象过点(0,0)，(1,1)，上凸递增，如y＝x.(3)α<0，图象过点(1,1)，以两坐标轴为渐近线，如y＝x－1.4．为什么幂函数在第四象限内不存在图象？提示：当x>0时，y＝

3、xα>0，不可能出现y<0的情形，所以幂函数在第四象限不存在图象．知识点三　　幂函数的性质[填一填]五类幂函数的性质[答一答]5．对于幂函数y＝xα(α是常数，x是自变量)其在第一象限内的单调性是怎样的？提示：α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上是增函数；α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上是减函数．类型一　　幂函数的概念[例1]　(1)下列函数：①y＝x3；②y＝x；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x；⑦y＝ax(a>1)．其中幂函数的个数为(　　)A．1　　B．2C．3D．4(2)已知f(x)＝(m2－

4、3m＋3)x为幂函数，则m等于(　　)A．1B．2C．1或2D．－2[答案]　(1)B　(2)C[解析]　(1)②⑦为指数函数，③中系数不是1，④中解析式为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数，故选B.(2)由幂函数的定义可知m2－3m＋3＝1，即m2－3m＋2＝0.解得m＝1或m＝2.故选C.幂函数解析式的结构特征：(1)解析式是单项式；(2)幂指数为常数，底数为自变量，系数为1.[变式训练1]　(1)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α＝(　C　)A.B．1C.D．2(2)已知函数y＝(m2＋2

5、m－2)xm＋2＋2n－3是幂函数，则m＝－3或1，n＝.解析：(1)由幂函数定义知k＝1，把代入y＝xα得α＝，∴k＋α＝.选C.(2)因为函数y＝(m2＋2m－2)xm＋2＋2n－3是幂函数，由幂函数的定义得解得m＝－3或1，n＝.类型二　　幂函数的图象[例2]　下图是幂函数y＝xm、y＝xn与y＝x－1在第一象限内的图象，则(　　)A．－11D．n<－1，m>1[答案]　B[解析]　由y＝xm的图象是横卧抛物线形，知0

6、0.作直线x＝x0(0

7、幂函数y＝x的图象经过区域①；当x>1时，x－>0，即x>>1，∴幂函数y＝x的图象经过区域⑤.类型三　　幂函数的性质应用[例3]　比较下列各组中三个数的大小．[分析]　本题考查幂函数及指数函数的单调性．比较幂值大小的方法[变式训练3]　比较下列各组中两个值的大小：1．下列所给出的函数中，是幂函数的是(　B　)A．y＝－x3　B．y＝x－3　C．y＝2x3　D．y＝x3－12．如果幂函数f(x)的图象过点，那么f的值为(　D　)A.B．2C．1D．4解析：设f(x)＝xα.∵f(x)的图象过点，∴＝4α，解得α＝－.∴f(x)

8、＝x，∴f＝＝4.3．函数y＝x的图象是(　B　)解析：∵函数y＝x是幂函数，幂函数在第一象限内恒过点(1,1)，排除A，D.当x>1,0<α<1时，y＝xα在直线y＝x下方，排除C，选B.4．幂函数y＝x－1在[－4，－2]上的最小值为－.解析：∵y＝x－1在(－∞，0)上