第三章变额年金(2).ppt

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1、13.4、每年支付m次的递增年金假设支付n年，每年支付m次，那么总的付款次数为mn。如果每年支付m次，付款又是递增的，那么将会出现下述两种情况：同一年的每次付款相同同一年的每次付款也是递增的2每年支付m次的递增年金：同一年的每次付款相同现值：注：见下页说明3第一年内所有付款的现值为第二年内所有付款的现值为……第n年内所有付款的现值为因此该项年金的现值为：4现值：3.5、每年支付m次，每年递增m次的年金5令在式两边同时乘以，则有6上式两边同时乘以m，则有所以7比较：(每年的付款是常数)(每年的付款递增)请大家写出累积值的公式。8变额年金公式小结年金递增

2、年金永续年金的现值现值累积值每年支付1次每年支付m次连续支付9年金递减年金现值累积值每年支付1次连续支付103.7、连续支付连续递增年金含义：连续支付，连续递增。假设在时刻t的付款比率为t，常数利息力为d，则连续递增年金的现值为：注意，此年金是连续递增并且连续支付的，因此上式中字母I和a上都有横线。11上式右边可用分部积分法展开：12连续递增年金的终值为13例：一项10年期的连续递增年金，在时刻t的付款比率为9t+6，利息力为9％，计算此项年金在时刻零的现值。解：可以将此项年金的现金流分解成两部分：连续递增年金连续等额年金因此其现值为：其中：14例：

3、一项年金的付款期是从第2年末至第7年末，并且在时刻t的付款比率为3t-4，假设固定利息力为6％，试求此项年金在第7年末的终值。解：假设此年金的付款期是从时刻0到第7年末，则其终值可表示为：从时刻0到第2年末的付款累积到第7年末的价值为：因此，本例年金的终值为：15通过计算可得：故本例年金的终值为：16连续递增的永续年金：在连续递增年金的现值公式中，令n趋于无穷大，则可以得到连续递增永续年金的现值公式：17例：一项连续支付的永续年金在时刻t的付款比率为3t，付款从0时刻起并一直延续下去，年实际利率为5％，则其现值为：183.8、连续支付连续递减年金连续

4、支付，连续递减。假设某项年金的支付期为n年，在时刻t的付款比率为n-t，固定利息力为d，则称此年金为一项连续递减年金，其现值用符号表示。连续递减年金的现值公式：19例：一份10年期的年金，在时刻t的付款比率为10-t，假设利息力为5％，试计算此项年金在时刻零的现值和在第10年末的终值。解：现值：终值（累积值）：20年金公式比较年金递增年金递增永续年金的现值现值累积值每年支付1次，每年递增1次每年支付m次，每年递增1次连续支付，每年递增1次连续支付，连续递增21年金递减年金现值累积值每年支付1次，递减1次连续支付，每年递减1次连续支付，连续递减22年金

5、等额年金永续年金的现值现值累积值每年支付1次每年支付m次连续支付233.9、一般连续变额现金流一般连续变额现金流的现值：假设付款时间是从时刻a到时刻b，在时刻t的付款比率为rt，利息力为dt。时刻t支付的1在时刻a的现值为从时刻a到时刻b内，所有付款在时刻a的现值是将所有付款的现值加总，在连续情况下就是对它们进行积分：24例：一个连续支付的现金流支付期从时刻0开始到时刻0.5结束在时刻t的支付率为利息力为试计算此现金流在时刻零的现值。解：现值表达式为：25令则其现值为：26非立即支付现金流的现值：一个现金流的起始时刻为a>0，结束时刻为b，计算在0点

6、的现值：方法一：计算此现金流在时刻a的现值，再将此现值从时刻a贴现到时刻零。方法二：改变前式对利息力积分的下积分限来得到在时刻零的现值：27例：一个连续支付现金流的支付率为rt=3元，支付期限从时刻2到时刻6，并且具有固定的利息力dt=0.05，试计算此现金流在时刻零的现值。解：改变对利息力积分的积分限，有：28另一种方法：先计算现金流在时刻2的现值：从时刻2到时刻零的贴现因子为：因此上述现金流在时刻零的现值为：29一般连续变额现金流的终值：在时刻t支付1元，将其累积到时刻b的终值为为了计算从时刻a到时刻b内所有付款的终值，需要将该期间内所有付款的终

7、值加总，在连续情况下就是对它们进行积分：30为了将一个连续支付的现金流累积到支付期间以后的某一时点c，有两种方法：方法一：利用前面的公式计算此现金流在时刻b的终值，再将此值累积到时刻c。方法二：改变对利息力积分的积分上限来得到在时刻c的终值：