函数的奇偶性1.ppt

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1、五夷山风光函数的奇偶性桂林风光教学目标：掌握奇偶函数的定义,以及奇偶函数的图象性质。难点：奇偶函数的图象、性质。引入:函数f(x)=x2的图象关于y轴对称，有f(-2)=f(2),f(-1)=f(1)……,即f(-x)=f(x)1、如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数例如：f(x)=x2+1,f(x)=x4-2等都是偶函数。如果f(x)=x3,则f(-x)=(-x)3=-x3,即f(-x)=-f(x)2、如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x都有f(-x)=-f(x

2、),那么函数f(x)就叫做奇函数3、函数奇偶性的图象性质：-aaYXO-aaYXOf(a)f(-a)f(-a)f(a)一般地,奇函数的图象关于原点对称，反过来，偶函数的图象关于Y对称，反过来，如果一个如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数。函数的图象关于Y对称，那么这个函数是偶函数。随堂练习判断下列函数是否具有奇偶性1)f(x)=x3+2x2)f(x)=2x4+3x23)f(x)=x-26)f(x)=x-4-x-2奇函数偶函数奇函数偶函数奇函数偶函数解1：f(x)的定义域为[-1,1),f(1)无意义，而f(-

3、1)有意义，∴f(x)不是奇函数也不是偶函数。注：函数奇偶性的前提是定义域关于原点对称。所以f(x)是奇函数。注：判断函数奇偶性的方法是用定义判断。例2：函数y=f(x)是R上的偶函数，当x≥0时，f(x)=x2-2x-3,用分段函数形式写出y=f(x)的表达式。解：设x<0,则-x>0,∴f(-x)=(-x)2-(-x)-3f(-x)=x2+x-3,又f(x)是偶函数，∴f(-x)=f(x)∴x<0时，f(x)=x2+x-3例3：定义在(-1,1)上的奇函数f(x)是减函数，且满足不等式f(1-a)+f(1-a2)<0,求

4、a的取值范围。解：f(1-a)<-f(1-a2)，f(x)是奇函数，∴-f(1-a2)=f(a2-1)即f(1-a)a2-1，又由f(x)的定义域为(-1,1),得例4：已知函数y=f(x)在R上是奇函数，而且在(0,+∞)上是增函数，证明y=f(x)在(-∞,0)上也是增函数。证：设x1-x2>0.∵y=f(x)在(0,+∞)上是增函数,∴f(-x1)>f(-x2)又y=f(x)在R上是奇函数，∴f(-x)=-f(x)得-f(x1)>-f(x2)→f(x

5、1)b>0,给出下列不等式：①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b);②f(b)-f(-a)g

6、(b)-g(-a);④f(a)-f(-b)

7、个定义域而言的，是函数定义域上的整体性质，按奇偶性分类，函数可分为四类:奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数2、根据函数奇偶性的定义可知,一个函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称，换言之，所给函数的定义域若不关于原点对称，则该函数必不具有奇偶性。3、根据定义判断函数奇偶性的步骤为：①看定义域是否关于原点对称;②验证f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)对定义域中的任意x是否恒成立.亦可判断f(-x)+f(x)=0或f(-x)-f(x)=0对定义域中的任意x是否恒成立;③结论4、奇偶函数的图象有以

8、下特征：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之亦真，它为我们提供了结合图形处理奇偶性问题的依据。5。如果f(x)是偶函数，则有6。若一个函数既是偶函数又是奇函数，则其解析式必为f(x)=07。若f(x)是奇函数，且f(0)有意义，则f(0)=0.即定义域为R的奇函数必过原