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1、前一章从积分范围的角度,我们已经把积分概念从数轴上的一个区间推广到平面或空间内的一个区域,在应用领域,有时常常会遇到计算密度不均匀的曲线(面)的质量,变力对质点做曲线运动所作的功,通过某曲面的流体的流量等.为解决这些问题,需要对积分概念作进一步的推广,引进曲线积分和曲面积分的概念,给出计算方法,这就是本章的中心内容,此外还要介绍Green公式、Gauss公式和Stokes公式,这些公式揭示了存在于各种积分之间的联系.第十章曲线积分与曲面积分难点:第二型曲线积分的计算与Green公式,第二型曲面积分的计算与Gau
2、ss公式和Stokes公式.重点:两类曲线(面)积分的概念和计算方法,格林(Green)公式,高斯(Gauss)公式,斯托克斯(Stokes)公式,曲线积分与路径无关的条件.1.理解两类曲线积分的概念及性质,了解两类曲线积分的关系.2.掌握两类曲线积分的计算.3.掌握格林(Green)公式,会用平面曲线积分与路径无关的条件.4.了解两类曲面积分的概念及性质,了解两类曲面积分的关系.5.掌握两类曲面积分的计算.6.了解高斯(Gauss)公式,斯托克斯(Stokes)公式.7.了解散度,旋度的及其计算方法.8.掌握
3、用曲线积分及曲面积分求一些几何量和物理量.基本要求:一、问题的提出实例:曲线形构件的质量.密度均匀时的质量:M=s对于密度非均匀时:记si为Mi-1到Mi的小弧段的长度,同时也记为该小弧段上点的集合.近似:任取(i,i)si,则该小弧段的质量近似为:求和:分割:在曲线AB上任意插入分点M1,M2,···,Mn-1.§10.1对弧长的曲线积分及其计算取极限:精确值二、对弧长的曲线积分的概念记为各小弧段中长度的最大值,若当→0时,以上和式的极限存在,则称此极限值为函数f(x,y)在曲线L上对弧长的
4、曲线积分,或称为函数f(x,y)在L上的第一类曲线积分,记作1.定义:设L=AB为xoy平面上的一条光滑曲线,函数f(x,y)在L上有界.在曲线L上任意插入n–1个点M1,M2,···,Mn-1,把L分成n个小弧段,记第i个小弧段的长度为si,在第i个小弧段si上任意取一点(i,i)作乘积f(i,i)si,并作和式积分曲线被积函数积分和式曲线形构件的质量:即弧微分2.存在条件:如果函数f(x,y)在光滑曲线L上连续,则对弧长的曲线积分存在.3.推广:函数f(x,y,z)在空间光滑曲线上对弧长的曲
5、线积分定义为:4.性质注意:(2)若积分曲线L可分为两段光滑的曲线L1和L2,则(3)若在积分曲线L上满足f(x,y)g(x,y),则特别地,有(1)若积分曲线L分段光滑,分为光滑曲线L1和L2,则(2)函数f(x,y)在封闭积分曲线L上的积分记为:光滑曲线:是指处处有切线的曲线.三、对弧长曲线积分的计算定理:设函数f(x,y)在积分曲线L上连续,L的参数(t),且(t),(t)在[,]上一阶方程为导数连续,则有注意:转换后定积分的下限一定要小于上限(<).特殊情形:(1)若L:y=(x
6、),axb,(2)若L:x=(y),cyd,证明:由于函数f(x,y)在积分曲线L上连续,故曲线积分存在.假设参变量t由变到时,曲线L上的点M(x,y)由点A连续地变到点B,在L上取一点列,A=M0,M1,M2,···,Mn-1,Mn=B,它们对应一列单调增加的参变量:=t0,t1,t2,···,tn-1,tn=.根据对弧长的曲线积分的定义,有其中点(i,i)为弧Mi-1Mi上的任意一点,其对应的参变量值为i,即i=(i),i=(i),ti-1iti.由于应用积分中值定
7、理得:其中ti=ti–ti-1,ti-1iti,于是由于(i,i)的任意性,则i同样也具有任意性,故在上式中取i为i,故上式为:由函数f及,的性质可知,上式右端的和式极限存在,(<)因此有对弧长的曲线积分的计算三原则:一代、二换、三定限.代:将积分曲线的参数方程代入被积函数,换:换弧微元定限:确定定积分限:下限—小参数,上限—大参数.推广:若(t),则例1:计算其中L:x2+y2=a2在第二象限的部分.解一:将L表示为:-ax0.有则解二:将L表示为:0ya.有则解
8、三:将L表示为参数方程:例2计算其中L为上点(0,0)与点(1,1)之间的一段弧解:例3:求其中L为抛物线y2=4x从(1,2)到(1,–2)一段.例4:求其中为螺旋线:在02的一段.解:①若L关于y轴对称:注:关于对弧长的曲线积分的对称性:(2)当f(–x,y)=f(x,y)时,(1)当f(–x,y)=–f(x,y)时,其中L1是L的关于y轴对称的部分弧段:②若L关于x轴对
