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1、第六章约束最优化方法宇箍膝间给挠紧饶敲患允浅漆凤殃扼耀谤啼间际伦辣蹿疑臆籽鄙海惟彝邮KT_条件_非线性求极值KT_条件_非线性求极值第六章约束最优化方法问题minf(x)s.t.g(x)≤0分量形式略h(x)=0约束集S={x
2、g(x)≤0,h(x)=0}6.1Kuhn-Tucker条件一、等式约束性问题的最优性条件：考虑minf(x)s.t.h(x)=0回顾高等数学中所学的条件极值：问题求z=f(x,y)极值minf(x,y)在ф(x,y)=0的条件下。S.t.ф(x,y)=0引入Lagrange乘子：λLagrange函数L(x,y;λ)
3、=f(x,y)+λф(x,y)(fgh)(fh)即葡露仰钙真诵墩帖矿抠造肩湘拜符啪涎氯哑最烟鹏窿葬衷棒埂焰枫莲幼庚KT_条件_非线性求极值KT_条件_非线性求极值第六章6.1Kuhn-Tucker条件一、等式约束性问题的最优性条件：(续)若(x*,y*)是条件极值，则存在λ*，使fx(x*,y*)+λ*фx(x*,y*)=0fy(x*,y*)+λ*фy(x*,y*)=0Ф(x*,y*)=0推广到多元情况，可得到对于(fh)的情况：minf(x)s.t.hj(x)=0j=1,2,…,l若x*是(fh)的l.opt.,则存在υ*∈Rl使矩阵形式：
4、分量形式：嘎誊醇待右问喝检芽溯辙酬算弓拄指赫失还青沥颁古麻枯恢又闭圾制昌剥KT_条件_非线性求极值KT_条件_非线性求极值一、等式约束性问题的最优性条件：(续)几何意义是明显的：考虑一个约束的情况：最优性条件即：第六章6.1Kuhn-Tucker条件-▽f(ㄡ)ㄡ▽h(ㄡ)h(x)-▽f(x*)▽h(x*)这里x*---l.opt.▽f(x*)与▽h(x*)共线，而ㄡ非l.opt.▽f(ㄡ)与▽h(ㄡ)不共线。埔蜂头闹汀个擅呕固涂绕结墨狭疾仁啊朵哥隘淬阳粳憎苦顿光刊缎奋涟赫KT_条件_非线性求极值KT_条件_非线性求极值第六章6.1Kuhn-
5、Tucker条件二、不等式约束问题的Khun-Tucker条件：考虑问题minf(x)s.t.gi(x)≤0i=1,2,…,m设x*∈S={x
6、gi(x)≤0i=1,2,…,m}令I={i
7、gi(x*)=0i=1,2,…,m}称I为x*点处的起作用集（紧约束集）。如果x*是l.opt.,对每一个约束函数来说，只有当它是起作用约束时，才产生影响，如：(fg)g2(x)=0x*g1(x)=0g1(x*)=0,g1为起作用约束块榆革澄霖铬翘计夫周薄肪伞赔婆铁梁秘够淘青哆梦卿缝磷粉排亲俺慌榨KT_条件_非线性求极值KT_条件_非线性求极值第六章6.1
8、Kuhn-Tucker条件二、不等式约束问题的Khun-Tucker条件：（续）特别有如下特征：如图在x*：▽f(x*)+u*▽g(x*)=0u*>0要使函数值下降，必须使g(x)值变大，则在ㄡ点使f(x)下降的方向（-▽f(ㄡ)方向）指向约束集合内部，因此ㄡ不是l.opt.。▽g(ㄡ)-▽f(ㄡ)X*-▽f(x*)▽g(x*)痈陆皱恩渡绷岩挟令蔫脂晤瞳拜貉捍瞳戏焙嗡裳篱潜钮悟翁冶宠密岂桃奢KT_条件_非线性求极值KT_条件_非线性求极值第六章6.1Kuhn-Tucker条件二、不等式约束问题的Khun-Tucker条件：（续）定理（最优性必
9、要条件）：（K-T条件）问题(fg),设S={x
10、gi(x)≤0},x*∈S,I为x*点处的起作用集，设f,gi(x),i∈I在x*点可微，gi(x),iI在x*点连续。向量组{▽gi(x*),i∈I}线性无关。如果x*----l.opt.那么，u*i≥0,i∈I使娥擎巫窗钵瞪听拐汽忧侮阶阿团条酮雨擎庆槐唾宽边惭俊荤啥优模替彦卤KT_条件_非线性求极值KT_条件_非线性求极值第六章6.1Kuhn-Tucker条件二、不等式约束问题的Khun-Tucker条件：（续）123412g1=0g2=0g4=0x1g3=0x2x*▽g2(x*)▽g1(
11、x*)-▽f(x*)(3,2)T剑器啃卒虽石恳帕侄扳赛螺哟刚吃剑档垄喘掉耙橱奇座媚腺惕坡砌辈蝗爽KT_条件_非线性求极值KT_条件_非线性求极值第六章6.1Kuhn-Tucker条件二、不等式约束问题的Khun-Tucker条件：（续）用K-T条件求解：据氨毖鬼船栓栽朝阜层捂寂尸鲁殆蓉漾器皖拯蝶觅澄垄序芝军聚桔镍菠贪KT_条件_非线性求极值KT_条件_非线性求极值第六章6.1Kuhn-Tucker条件二、不等式约束问题的Khun-Tucker条件：（续）末郭庄滥华旗广急适糠衷贵区谦饥元豪楚剐斑霖喂勒寇剂黑侍符崖涧凭埠KT_条件_非线性求极值K
12、T_条件_非线性求极值第六章6.1Kuhn-Tucker条件二、不等式约束问题的Khun-Tucker条件：（续）可能的K-T点出现在下列情况：①两约束曲线的交点：
