2、师点拨柱坐标系是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的一部分建立起来的,柱坐标的表示形式为(ρ,θ,z).因此,在求空间一点P的柱坐标时,先确定点P在xOy平面上的射影Q的极坐标(ρ,θ),它的柱坐标中的z与空间直角坐标中的z相同.做一做1(1)若点P的柱坐标为,则它的直角坐标为;(2)已知点M的直角坐标为(0,1,5),则它的柱坐标为.2.球坐标系(1)定义:如图,建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点,连接OP,记
3、OP
4、=r,OP与Oz轴正向所夹的角为φ.设P在Oxy平面上的射影为Q,Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为
5、θ.这样点P的位置就可以用有序数组(r,φ,θ)表示.这样,空间的点与有序数组(r,φ,θ)之间建立了一种对应关系,把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系),有序数组(r,φ,θ)叫做点P的球坐标,记作P(r,φ,θ),其中r≥0,0≤φ≤π,0≤θ<2π.(2)空间点P的直角坐标(x,y,z)与球坐标(r,φ,θ)之间的变换关系为名师点拨1.球坐标的排列顺序:①r(点P到原点的距离);②φ(OP与z轴正方向所夹的角);③θ(OP在平面Oxy内的射影与x轴正方向所成的角).2.求空间一点P的球坐标,先求
6、OP
7、=r,再求OP与
8、Oz轴正方向所夹的角φ,设OP在平面Oxy上的射影为OQ,则Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ,则点P的球坐标确定为(r,φ,θ).3.空间直角坐标系和柱坐标系、球坐标系的联系与区别:柱坐标系和球坐标系都是以空间直角坐标系为背景,柱坐标系中的一点在平面xOy内的坐标是极坐标,竖坐标和空间直角坐标系中的竖坐标相同;在球坐标系中,则以一点到原点的距离和两个角(高低角、极角)刻画点的位置.空间直角坐标系和柱坐标系、球坐标系都是空间坐标系,空间点的坐标都是三个数值组成的有序数组.思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√
9、”,错误的画“×”.(1)要刻画空间点的位置,无论用哪种坐标都需要三个数值.()(2)球坐标系与柱坐标系中的点的坐标一定包含一个角.()(3)利用三角函数可以实现柱坐标、球坐标与直角坐标的互化.()(4)点A(1,0,1)的柱坐标与直角坐标是相同的.()√√√√探究一探究二思维辨析直角坐标与柱坐标的互化【例1】已知点A的直角坐标为(1,,5),求它的柱坐标.探究一探究二思维辨析反思感悟已知点的直角坐标,确定它的柱坐标的关键是确定ρ和θ,尤其是θ,要注意求出tanθ后,还要根据点在xOy平面内的射影所在的象限确定θ的值(θ的取值范围是[0,2π
10、)).探究一探究二思维辨析变式训练1已知点M的直角坐标为(1,1,3),求它的柱坐标.探究一探究二思维辨析【例2】根据下列点的柱坐标,分别求直角坐标:探究一探究二思维辨析反思感悟1.在点M的柱坐标(ρ,θ,z)中,要求ρ≥0,θ∈[0,2π),z可以取一切实数.2.将点的柱坐标(ρ,θ,z)化为直角坐标(x,y,z)的公式为运用特殊角的三角函数值计算即可.探究一探究二思维辨析变式训练2将下列各点的柱坐标分别化为直角坐标:探究一探究二思维辨析球坐标与直角坐标的互化【例3】根据下列点的球坐标分别求其直角坐标:探究一探究二思维辨析反思感悟化点的球坐
11、标(r,φ,θ)为直角坐标(x,y,z),需要运用公式转化为三角函数的求值与运算,但要注意分清哪个角是φ,哪个角是θ.探究一探究二思维辨析变式训练3已知点P的球坐标为,求它的直角坐标.探究一探究二思维辨析分析：利用相关公式转化求解.探究一探究二思维辨析反思感悟由直角坐标化为球坐标时,我们可以先设点M的球坐标为(r,φ,θ),再利用变换公式求出r,θ,φ,代入点的球坐标即可.特别注意由直角坐标求球坐标时,θ和φ的取值应看清点所在的位置,准确取值,才能准确无误.探究一探究二思维辨析变式训练4若点的直角坐标为(1,,2),则其球坐标为.探究一探究二
12、思维辨析对点的坐标中有关角的意义与范围理解不清致误典例设点M的直角坐标为(-1,-1,),求它的球坐标和柱坐标.探究一探究二思维辨析时,要结合点的位置确定角的范围再
