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时间:2020-01-27
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1、第三章时域连续信号的复频域分析3.1引言3.2拉普拉斯变换3.3拉普拉斯变换的基本性质3.4拉普拉斯反变换3.5拉普拉斯变换与傅里叶变换之间的关系3.6小结3.7练习题13.1引言时域连续信号的频域分析,揭示了信号的内在频率特性,是信号分析的重要方法,在分析信号谐波分量、波形失真等问题时,有其独到之处,但频率分析也存在不足。其一,某些信号不存在Fourier变换,因此无法利用频域分析法;其二,对一些不满足绝对可积条件的常用信号如等,虽然其Fourier变换存在,但带有冲激项处理时不方便;其三,频域分析法中,
2、Fourier反变换一般较为复杂。为此,本章介绍另一种时域连续信号的分析方法—复频域分析法。Laplace变换可理解为一种广义的Fourier变换,Laplace变换具有对信号要求不高,反变换方法相对简单等特点。23.2拉普拉斯变换3.2.1拉普拉斯变换的定义3.2.2拉普拉斯变换的收敛域3.3.3常用信号的Laplace变换33.2.1拉普拉斯变换的定义令,其中为常数称为双边拉普拉斯变换对或复傅里叶变换对43.2.1拉普拉斯变换的定义令信号起始时刻为零,并考虑信号到在时刻可能包含有冲激函数及其导数项,取积
3、分下限为,则称为单边拉普拉斯变换对。通常用下列符号分别表示,即53.2.1拉普拉斯变换的定义复变函数称为的象函数,时间函数称为的原函数。63.2.2拉普拉斯变换的收敛域Laplace变换存在的条件,可表示为:单边Laplace变换收敛域73.2.2拉普拉斯变换的收敛域例3-1求函数的Laplace变换的收敛域。解:无论取何值,被积函数均收敛。故其收敛域为整个平面,即。一般而言,凡是定义在有限区间上的能量信号,不管取何值,都能使信号的Laplace变换存在,其收敛域为整个平面。83.2.2拉普拉斯变换的收敛域
4、例3-2求函数的Laplace变换的收敛域。解:当时,,故收敛域为平面的区域,即右半平面。一般而言,如果信号是等幅信号或等幅振荡信号,如阶跃信号、正弦信号,只要乘以衰减因子就可以使之收敛,因此其收敛域为右半平面。93.2.2拉普拉斯变换的收敛域例3-3求函数的Laplace变换的收敛域。解:当时,故收敛域为s平面的区域,即右半平面。一般而言,对于任何随时间成正比的t的正幂次信号,其增长速度比指数信号要慢得多,对其乘以衰减因子也可收敛,因此其收敛域也是s右半平面。103.2.2拉普拉斯变换的收敛域例3-4求函
5、数的Laplace变换的收敛域。解:当时,故收敛域为s平面的区域,或表示为的区域。一般而言,对于指数信号,在s平面的区域可收敛。而对于一些比指数阶函数增长快的非指数阶函数,如,信号,不存在相应的衰减因子,故其Laplace变换不存在。113.2.3常用信号的Laplace变换1.单位冲激信号,即123.2.3常用信号的Laplace变换2.单位阶跃信号,即133.2.3常用信号的Laplace变换3.指数衰减信号即143.2.3常用信号的Laplace变换序号单边信号Laplace变换收敛域11234561
6、53.2.3常用信号的Laplace变换序号单边信号Laplace变换收敛域789101112163.3拉普拉斯变换的基本性质3.3.1线性3.3.2尺度变换3.3.3时移特性3.3.4复频移特性3.3.5时域卷积定理3.3.6复频域卷积定理3.3.7时域微分特性3.3.8时域积分特性3.3.9复频域微分特性3.3.10复频域积分特性3.3.11初值定理3.3.12终值定理173.3.1线性若且有常数,,则,183.3.1线性例3-6求正弦型信号,的Laplace变换。解:由于根据线性性质,得即193.3.
7、2尺度变换若则是为了保证仍为因果信号203.3.2尺度变换例3-7求正弦信号的Laplace变换。解:由于根据尺度变换性质,得213.3.3时移特性若则延时信号是指因果信号延时后的信号,而并非且有实常数,,则223.3.3时移特性例3-8求矩形脉冲函数的象函数解:由于根据线性和时移特性,得=是定义在有限区间上的能量信号,其收敛域为整个s平面,即233.3.3时移特性例3-9求在时接入的周期性单位冲激序列的象函数解:根据线性和时移特性,得这是等比级数。当时,该级数收敛。由等比级数求和公式可得243.3.4复频
8、移特性若且有复常数,则253.3.4复频移特性例3-10求衰减的正弦函数和衰减的余弦函数的象函数。解:因为由复频移性质,得同理,263.3.5时域卷积定理若则其收敛域至少是收敛域与收敛域的公共部分273.3.5时域卷积定理例3-12已知,,求的Laplace变换解:先求出两信号的Laplace变换,根据时域卷积定理283.3.6复频域卷积定理若则293.3.7时域微分特性若则其收敛域至少是303.3.7时域微分特
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