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1、导数与微分第三章第一节导数的概念一、导数的引入例1变速直线运动的瞬时速度.设某物体作变速直线运动,在[0,t]内所走过的路程为s=s(t),其中t＞0为时间,求物体在时刻t0的瞬时速度v＝v(t0).匀速直线运动速度变速直线运动的瞬时速度先求出物体在[t0,t0+t]这一小段时间内的平均速度,当t很小时,平均速度可作为v(t0)的近似值.当t无限变小时,平均速度将无限接近于v(t0).在[t0,t0+t]这段时间内所走过的路程为s＝s(t0+t)-s(t0)，在[t0,t0+t]这段时间内
2、的平均速度为例2曲线的切线斜率．设曲线C及C上一点M,在M点外任取一点N∈C,作割线MN,当点N沿曲线C趋向于点M时,如果割线MN趋向于它的极限位置MT,则称直线MT为曲线C在点M处的切线.割线MT的斜率当x→0时,点N沿曲线C趋于M,由切线定义知MN趋于MT，从而→,tan→tan,即切线斜率总结:求函数的改变量与自变量的改变量的比值,当自变量的改变量趋于0时的极限,这种形式的极限就是函数的导数．二、导数的定义定义1设函数y=f(x)在点x0的某个邻域U(x0)内有定义,当自变量x在x0处取
3、得增量x[点x0+x仍在U(x0)内]时,相应地函数y取得增量y=f(x0+x)-f(x0),如果极限存在,则称函数y=f(x)在点x0处可导,并称该极限值为函数y=f(x)在点x0处的导数,记为f(x0),也可记作如果不存在(包括∞),则称函数y=f(x)在点x0处不可导或没有导数.但当极限为∞时,也常说函数y=f(x)在x0处的导数为无穷大．导数为函数f(x)在x0处的变化率,它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度.如果函数y=f(x)在区间(a,b)内每一点处都可导,则称f(x)在
4、区间(a,b)内可导.此时对于该区间的每一点x都有一个导数值(x)与之对应,这就构成了一个新函数.这个函数称为f(x)在(a,b)内的导函数(简称导数),记作f(x),y,,即求函数y=f(x)在x处的导数可分为三步：(1)求增量对自变量在x处给以增量x,相应求出函数的增量y=f(x+Δx)=f(x);(2)算比值(3)取极限求函数f(x)=C,x∈(-∞,+∞)的导数,其中C为常数.例解例解例解例解例解定理1f(x)在x0处可导的充要条件是f(x)在x0处的左、右导数均存在且相等.三、导数的几
5、何意义函数f(x)在点x0的导数f(x0)的几何意义就是曲线y=f(x)在点(x0,y0)处的切线斜率,即f(x0)=tan(/2)，其中是切线的倾角．曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为y-f(x0)=f(x0)(x-x0)．曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的法线方程为y-f(x0)=(x-x0)(f(x0)≠0)．例求曲线y=x2在点M0(1,1)处的切线方程和法线方程.根据导数的几何意义,所求切线的斜率为解从而得切线方程为y-1=2(x-1)即2x-y
6、-1=0．法线方程为即x+2y-3=0．四、可导与连续的关系定理2如果函数f(x)在点x0处可导,则函数f(x)在点x0处必连续．证因为函数f(x)在点x0处可导,则根据函数极限与无穷小量的关系,得从而f(x)-f(x0)=f(x0)·(x-x0)+·(x-x0)．当x→x0时,f(x)-f(x0)→0,所以函数f(x)在x0处连续.注意:该命题的逆命题不成立,即函数在某点连续却不一定在该点处可导.第二节求导法则一、函数四则运算的求导法则定理1设u=u(x)和v=v(x)都在x处可导,则y=u±v也
7、在x处可导,且有(u±v)=u±v．证设当x有增量x时,u,v所对应的增量分别为u,v.这时函数y的增量为y=[u(x+x)±v(x+x)]-[u(x)±v(x)]=[u(x+x)-u(x)]±[v(x+x)-v(x)]=u±v．注意:定理可推广到有限个函数代数和的情形.定理2设u(x)和v(x)在x处可导,则y=uv也在x处可导,且有(uv)=uv+uv．证y=u(x+x)v(x+x)-u(x)v(x)=u(x+x)v(x+x)-u(x)v(x+x)+u(x
8、)v(x+x)-u(x)v(x)=u·v(x+x)+u(x)v=u·v+u·v+u·v．u(x)在x点处可导时必在x点连续,即=0,则定理3设u(x)和v(x)在x处可导,又v(x)≠0,则y=也在x处可导,且有证例解例解二、复合函数的求导法则定理4设函数u=(x)在点x处可导,函数y=f(u)在对应点u=(x)处可导,则复合函数y=f((x))在点x处可导,且有y(x)=f(u)·(x)=f((x))·
