2020版高考数学二轮复习专题限时集训14导数的综合应用理.docx

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1、专题限时集训(十四)　导数的综合应用(建议用时：40分钟)1．已知函数f(x)＝.(1)求函数f(x)在[1，＋∞)上的值域；(2)若x∈[1，＋∞)，lnx(lnx＋4)≤2ax＋4恒成立，求实数a的取值范围．[解](1)易知f′(x)＝＜0(x≥1)，∴f(x)在[1，＋∞)上单调递减，f(x)max＝f(1)＝2.∵x≥1时，f(x)＞0，∴f(x)在[1，＋∞)上的值域为(0,2]．(2)令g(x)＝lnx(lnx＋4)－2ax－4，x∈[1，＋∞)，则g′(x)＝2，①若a≤0，则由(1)可知，g′(x)＞0，g(x)在[1，＋∞)上单调递增，∵

2、g(e)＝1－2ae＞0，与题设矛盾，∴a≤0不符合要求．②若a≥2，则由(1)可知，g′(x)≤0，g(x)在[1，＋∞)上单调递减．∴g(x)≤g(1)＝－2a－4＜0，∴a≥2符合要求．③若0＜a＜2，则x0∈(1，＋∞)，使得＝a，则g(x)在[1，x0)上单调递增，在(x0，＋∞)上单调递减，∴g(x)max＝g(x0)＝lnx0(lnx0＋4)－2ax0－4.∵lnx0＝ax0－2，∴g(x)max＝(ax0－2)(ax0＋2)－2ax0－4＝(ax0＋2)(ax0－4)．由题意知g(x)max≤0，即(ax0＋2)(ax0－4)≤0，－2≤a

3、x0≤4，即－2≤lnx0＋2≤4⇒1＜x0≤e2.∵a＝，且由(1)可知f(x)＝在(1，＋∞)上单调递减，∴≤a＜2.综上，a的取值范围为.2．已知函数f(x)＝x2－(a－2)x－alnx(a∈R)．(1)求函数y＝f(x)的单调区间；(2)当a＝1时，证明：对任意的x＞0，f(x)＋ex＞x2＋x＋2.[解](1)函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝2x－(a－2)－＝，当a≤0时，f′(x)＞0对任意x∈(0，＋∞)恒成立，所以，函数f(x)在区间(0，＋∞)单调递增；当a＞0时，由f′(x)＞0得x＞，由f′(x)＜0，得0＜x＜，

4、所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减．(2)证明：当a＝1时，f(x)＝x2＋x－lnx，要证明f(x)＋ex＞x2＋x＋2，只需证明ex－lnx－2＞0，设g(x)＝ex－lnx－2，则问题转化为证明对任意的x＞0，g(x)＞0，令g′(x)＝ex－＝0，得ex＝，容易知道该方程有唯一解，不妨设为x0，则x0满足e＝，当x变化时，g′(x)和g(x)变化情况如下表x(0，x0)x0(x0，＋∞)g′(x)－0＋g(x)递减递增g(x)min＝g(x0)＝e－lnx0－2＝＋x0－2，因为x0＞0，且x0≠1，所以g(x)min＞2－2＝0，因此不

5、等式得证．3．已知函数f(x)＝ex(1＋alnx)，其中a＞0，设f′(x)为f(x)的导函数．(1)设g(x)＝e－xf′(x)，若g(x)≥2恒成立，求a的取值范围；(2)设函数f(x)的零点为x0，函数f′(x)的极小值点为x1，当a＞2时，求证：x0＞x1.[解](1)由题设知，f′(x)＝ex(x＞0)，g(x)＝e－xf′(x)＝1＋＋alnx，g′(x)＝(x＞0)．当x∈(0,1)时，g′(x)＜0，g(x)在区间(0,1)上单调递减，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＞0，g(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，故g(x)在x＝1处取得最小

6、值，且g(1)＝1＋a.由于g(x)≥2恒成立，所以1＋a≥2，得a≥1，即a的取值范围为[1，＋∞)．(2)证明：设h(x)＝f′(x)＝ex，则h′(x)＝ex.设H(x)＝1＋－＋alnx(x＞0)，则H′(x)＝－＋＋＝＞0，故H(x)在(0，＋∞)上单调递增，因为a＞2，所以H(1)＝a＋1＞0，H＝1－aln2＜0，故存在x2∈，使得H(x2)＝0，则h(x)在区间(0，x2)上单调递减，在区间(x2，＋∞)上单调递增，故x2是h(x)的极小值点，因此x2＝x1.由(1)可知，当a＝1时，lnx＋≥1.因此h(x)≥h(x1)＝e＞e(1＋a)

7、＞0，即f(x)在(0，＋∞)上单调递增．由于H(x1)＝0，即1＋－＋alnx1＝0，即1＋alnx1＝－，所以f(x1)＝e(1＋alnx1)＝ae＜0＝f(x0)．又f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以x1＜x0.4．已知函数f(x)＝xlnx－x2＋(a－1)x，其导函数f′(x)的最大值为0.(1)求实数a的值；(2)若f(x1)＋f(x2)＝－1(x1≠x2)，证明：x1＋x2＞2.[解](1)由题意，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，其导函数f′(x)＝lnx－a(x－1)，记h(x)＝f′(x)，则h′(x)＝.当a≤0时，h′(x)＝

8、＞0恒成立，所以h(x)在(0，＋∞)上单调递增，且h(1)＝0，