第三章-多维随机向量的分布及数字特征.ppt

《第三章-多维随机向量的分布及数字特征.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、勤学好问必有所获第三章随机向量的分布及其数字特征概率论常用的多维随机向量的分布随机向量的概率函数与随机向量的概率密度函数边际分布与条件分布随机向量的独立性随机向量与随机向量的分布函数随机向量函数的分布随机向量的数字特征随机向量与随机向量的分布函数对于有些随机试验，要定量化表达其结果用一个随机变量来描述还不够，往往需要两个或两个以上变量作为整体来描述。例如：在打靶时，命中点的位置是由一对随机变量(两个坐标)来确定的。飞机的重心在空中的位置是由三个随机变量来确定的等等。这就需要研究随机向量的概率规律。一、随机向量的概念1.随机向量的定

2、义Def设为个随机变量，如果能表达随机试验的结果，则称为维随机向量；有时也称为维随机变量，称为第个分量。表达随机试验结果的变量个数从一个增加到两个形成二维随机向量，概率分布律的描述有了实质的变化，而二维推广到多维只有形式上的变化并无实质性的困难，我们主要讨论二维随机向量。2.二维随机向量的分布函数Def设为二维随机向量，为平面内任意一点，则称为二维随机向量的分布函数，也称为与的联合分布函数。分布函数的概率意义如图2.3所示，即就是随机点游荡到阴影区域的概率。3.二维随机向量的分布函数的性质(1)即非负有界性；(2)；x图2.3(3

3、)关于或为非减函数；(4)关于或至少是右连续的；(5)对于任意的数有性质(5)的概率意义如图2.4，即就是随机点游荡到红色区域的概率。例3.1设某人同时抛掷一枚5分和一枚1分均匀硬币，用分别表示5分硬币出现国徽面与有字面；用分别表示1分硬币出现国徽面与有字面。试将该试验结果用变量形式表示，并求其分布函数。解:由题设条件知试验结果需用随机向量表示，且其概率分布如下表所示：图2.4从而由分布函数的定义有4.二维随机向量的边际分布与边际分布函数Def设为二维随机向量，则称随机变量与的概率分布分别为随机向量关于分量和的边际概率分布；随机变

4、量与的分布函数分别称为随机向量关于分量和的边际分布函数。0101/41/411/41/4{}ïïîïïíì³³<£³³<£<£<£<<=££=1111012/11102/110104/1000,),(yxyxyxyxyxyYxXPyxF且且且且或随机向量的分布函数与边际分布函数的关系证明:（只证明第一式，第二式同理可证）由随机变量分布函数的定义所以有随机向量的分布函数与边际分布函数的关系式表明，边际分布函数由随机向量的分布函数唯一确定，但反之未必成立。例3.2设随机向量的分布函数为试求(1)随机向量关于分量的边际分布函数；(2)；

5、(3)。解:(1)由边际分布函数的定义(2)(3)二维离散型随机向量与二维连续型随机向量一、二维离散型随机向量与其概率分布的表达1.二维离散型随机向量Def设为二维随机向量，如果的所有可能取值点是平面上的有限个或无穷可列个点，则称为二维离散型随机向量。2.二维离散型随机向量概率函数Def设为二维离散型随机向量，其所有可能取值点及其对应概率如下表所示，称其为的概率分布表。而称为随机向量的概率函数或随机变量与的联合概率函数。3.随机向量概率函数的性质(1)（非负性）(2)（归一性）4.随即向量概率函数与分布函数的关系如已知随机向量概率

6、函数，则有一般求概率函数采用以下公式：例3.3整数等可能的取值1,2,3,4，整数等可能的取值1~，求随机向量的概率分布列。解:由题目条件随机向量所有可能取值点为显然，当时，。当时，分别有同理可计算的其它值，从而得随机向量的分布表。随机向量的分布表二、二维连续型随机向量与其概率分布的表达1.二维连续型随机向量123411/400021/81/80031/121/121/12041/161/161/161/16则称为连续型随机向量，成为随机向量的概率密度函数或随机变量与的联合概率密度函数。Def设为其分布函数，为二维随机向量，如果存

7、在非负函数，使得注意：的定义域为；的概率意义为随机点进入区域的概率。2.二维连续型随机向量的概率密度；(1)非负性，即有；(2)归一性，即有；(3)分布函数与概率密度函数的关系(4)随机点在任意区域内的概率计算式D这就是说在已知概率密度情况下事件的概率=曲顶柱体的体积图2.5例3.4设二维随机向量的概率密度为；(1)求常数(2)求的分布函数；(3)求；(4)求。解:(1)由概率密度的性质从而有解得于是，概率密度函数为(2)由的分布函数与概率密度函数的关系图2.6(3)(4)yx=图2.73.连续型随机向量与离散型随机向量区别定理：

8、设为连续型随机向量，为平面上任意定点，则有。定理证明与随机变量的情况类似，请大家自己证明。该定理表明连续型随机向量的概率分布不能用逐点取值的概率表达，而只能用概率密度来表达。所以，对连续型随机向量总成立：这就是说在计算二维随机向量有关概率值时，可以