矩阵论一线性变换(4-5).ppt

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1、第一章第二节线性变换及其矩阵主要内容：线性变换线性变换的运算线性变换的值域与核1第二节线性变换及其矩阵线性变换的矩阵表示相似矩阵线性变换的特征值与特征向量不变子空间（自学）Jordan标准型介绍2一、线性映射（变换）的定义及运算则称T是从V到W的一个线性映射或线性算子。设V,W是数域F上的两个线性空间，T是从V到W的一个映射，如果对于当V=W时,T也称为V上的一个线性变换。3例1恒等变换例20-变换线性变换举例：4例3求导运算是多项式空间Cn[x]上的线性变换。例4定义在闭区间[a,b]上的所有连续函数的集合C[a,b]是一

2、个线性空间，则C[a,b]的积分运算是线性变换。5线性映射（变换）有以下性质：（3）T将V中的线性相关向量组映射为W中的线性相关向量组，但把线性无关向量组不一定映射为W中的线性无关向量组；（4）设则并且6可以验证，线性空间V的线性变换经加法与数乘运算后仍为线性变换，并且满足下列基本性质设都是线性空间V的线性变换，定义线性变换的加法，设T是线性空间V的一个线性变换，k是数域F上的一个数，定义线性变换的数乘，（2）结合律（1）交换律线性变换的运算：7（8）（3）存在零变换o,（4）存在负变换-T,（5）第一分配律（6）第二分配律

3、（7）结合律令表示n维线性空间V的所有线性变换的集合，则在线性变换的加法与数乘运算下构成数域F上的一个维线性空间。8容易验证线性空间V上线性变换的积也是一个线性变换，并且满足下述性质（1）结合律设都是线性空间V的线性变换，定义线性变换的积，需要注意的是，线性变换的积一般不满足交换律，即（2）分配律例：在中定义线性变换：由于则9当T是可逆变换时，定义设T是线性空间V的一个线性变换，是一个多项式，则T的多项式为若线性变换的积可交换，即则称可交换的。此时也称是可逆线性变换。10线性变换的值域与核设T是n维线性空间V的一个线性变换，

4、定义T的值域R(T)与核N(T)分别为设A是n阶矩阵，A的值域R(A)与核N(A)分别为--T的全体象组成的集合--被T变成零向量的向量组成的集合11实例求导运算T在多项式空间Cn[x]上的值空间R(T)与核空间N(T)分别为注：Cn[x]R(T)+N(T)R(T)=L{1,x,x2,…,xn-1}N(T)={1}12（1）T的值域R(T)与核N(T)都是V的子空间；（3）dim(R(T))+dim(N(T))=n.则定理：设T是n维线性空间V的一个线性变换，是n维线性空间V的基，分别称为象子空间，核子空间；象子空间的维数

5、dimR(T)称为T的秩，核子空间的维数称为T的零度（或亏）13证（3）设令是的一组基，把它扩充为V的一组基则有要证只要证明线性无关设则有即所以是V的一组基，则线性无关。（3）dim(R(T))+dim(N(T))=n.14例在中定义T：求T的值域与核，并确定其秩与零度。解：容易验证T为上的线性变换，设则由解得从而T的零度为0；T的秩为3；又因为所以15设T是n维线性空间V的一个线性变换，是n维线性空间V的基，称A为T在基下的矩阵。二、线性变换的矩阵表示（2）给定n维线性空间V的基后，V上的线性变换与n阶矩阵之间存在一一对应

6、关系。基向量的象可以被基线性表出，即说明（1）矩阵A的第i列恰是的坐标；16（4）设n维线性空间V的一个线性变换T在基下的矩阵为且向量在该基下的坐标为则在该基下的坐标为是n维线性空间V的基，（3）设T1，T2是n维线性空间V的两个线性变换，T1，T2在该基下的矩阵为则T1+T2，kT1,T1T2，T-1在该基下矩阵分别为17（5）设是纯量多项式，T为V中的线性变换，且对V的基有则V的线性变换f(T)在该基下的矩阵为：其中f(A)称为矩阵A的多项式。18例1、试确定在多项式空间Pn[x]上的求导运算T分别在下列两组基下的表示矩

7、阵说明：同一线性变换在不同基下的表示矩阵一般是不同的，它们之间的关系是相似矩阵。19例2、在R3中线性变换T将基变为基其中（1）求T在基下的表示矩阵；（2）求向量及在基下的坐标解（1）依题意则（2）设则20证明定理：T在基下的矩阵为A，在基下的矩阵为B，从基到基的过渡矩阵为P，则再由线性无关可得：从而有相似矩阵21矩阵的相似关系是一个等价关系，可以利用这一关系将n阶矩阵划分为若干等价类.进而得出[1]n维线性空间V的同一线性变换在不同基下的矩阵是相似的。[2]n维线性空间V的一个线性变换与n阶矩阵的一个等价类一一对应。设如果

8、存在可逆矩阵P，使得已知A与B相似，则则称矩阵A与B是相似的，记为AB～为纯量多项式则22例3、设T是的线性变换，有求T在基下的表示矩阵。解法一：直接法（同例1）解法二：利用同一线性变换在不同基下的表示矩阵是相似矩阵这一结论。选取一组简单基：基到基的过渡矩阵为基在T下的象为：23T在基下的