高中数学第三章空间向量与立体几何3.2立体几何中的向量方法3.2.3利用空间向量求空间角、空间距离问题讲义.docx

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1、3.2.3　利用空间向量求空间角、空间距离问题1．空间角及向量求法角的分类向量求法范围异面直线所成的角设两异面直线所成的角为θ，它们的方向向量为a，b，则cosθ＝

2、cos〈a，b〉

3、＝直线与平面所成的角设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则sinθ＝

4、cos〈a，n〉

5、＝二面角设二面角α－l－β的平面角为θ，平面α，β的法向量为n1，n2，则

6、cosθ

7、＝

8、cos〈n1，n2〉

9、＝[0，π]2．空间距离的向量求法分类向量求法两点距设A，B为空间中任意两点，则d＝

10、

11、点面距设平面α的法向量为n，B∉α，A∈α，则B点到平面α的距离d＝

12、1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等．(　　)(2)直线l∥平面α，则直线l到平面α的距离就是直线l上的点到平面α的距离．(　　)(3)若平面α∥β，则两平面α，β的距离可转化为平面α内某条直线到平面β的距离，也可转化为平面α内某点到平面β的距离．(　　)答案　(1)×　(2)√　(3)√2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为________．(2)(教材改编P111A组T11)如图，在正方体ABCD－A1B

13、1C1D1中，M是C1C的中点，O是底面ABCD的中点，P是A1B1上的任意点，则直线BM与OP所成的角为________．(3)已知平面α的一个法向量为n＝(－2，－2,1)，点A(－1,3,0)在平面α内，则点P(－2,1,4)到平面α的距离为________．答案　(1)45°或135°　(2)　(3)解析　(2)建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则O(1,1,0)，P(2，x,2)，B(2,2,0)，M(0,2,1)，则＝(1，x－1,2)，＝(－2,0,1)．所以·＝0，所以直线BM与OP所成角为.探究1　　利用空间向量求线线角例1　如图1，

14、已知两个正四棱锥P－ABCD与Q－ABCD的高分别为1和2，AB＝4.求异面直线AQ与PB所成角的余弦值．[解]　由题设知，ABCD是正方形，连接AC，BD，交于点O，则AC⊥BD.连接PQ，则PQ过点O.由正四棱锥的性质知PQ⊥平面ABCD，故以O为坐标原点，以直线CA，DB，QP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图2)，则P(0,0,1)，A(2，0,0)，Q(0,0，－2)，B(0,2，0)，∴＝(－2，0，－2)，＝(0,2，－1)．于是cos〈，〉＝＝，∴异面直线AQ与PB所成角的余弦值为.拓展提升两异面直线所成角的求法(1)平移法：即通过平移其

15、中一条(也可两条同时平移)，使它们转化为两条相交直线，然后通过解三角形获解．(2)取定基底法：在一些不适合建立坐标系的题型中，我们经常采用取定基底的方法，这是小技巧．在由公式cos〈a，b〉＝求向量a、b的夹角时，关键是求出a·b及

16、a

17、与

18、b

19、，一般是把a、b用一组基底表示出来，再求有关的量．(3)用坐标法求异面直线的夹角的方法①建立恰当的空间直角坐标系；②找到两条异面直线的方向向量的坐标形式；③利用向量的夹角公式计算两直线的方向向量的夹角；④结合异面直线所成角的范围得到异面直线所成的角．【跟踪训练1】　如图，在三棱锥V－ABC中，顶点C在空间直角坐标系的原点处，

20、顶点A，B，V分别在x，y，z轴上，D是线段AB的中点，且AC＝BC＝2，∠VDC＝θ.当θ＝时，求异面直线AC与VD所成角的余弦值．解　由于AC＝BC＝2，D是AB的中点，所以C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(1,1,0)．当θ＝时，在Rt△VCD中，CD＝，故有V(0,0，)．所以＝(－2,0,0)，＝(1,1，－)．所以cos〈，〉＝＝＝－.所以异面直线AC与VD所成角的余弦值为.探究2　　利用空间向量求线面角　例2　正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，求AC1与侧面ABB1A1所成的角．[解]　建立如下图所示的空间

21、直角坐标系，则A(0,0,0)，B(0，a,0)，A1(0,0,a)，C1，取A1B1的中点M，则M，连接AM，MC1，有＝，＝(0，a,0)，＝(0,0，a)．∴·＝0，·＝0，∴⊥，⊥，即MC1⊥AB，MC1⊥AA1，又AB∩AA1＝A，∴MC1⊥平面ABB1A1.∴∠C1AM是AC1与侧面A1ABB1所成的角．由于＝，＝，∴·＝0＋＋2a2＝，

22、

23、＝＝a，

24、

25、＝＝a，∴cos〈，〉＝＝.∴〈，〉＝30°，即AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°.[解法探究]　此题有没有其他解法？解　与原解建立相同的空间直角坐标系，则＝(0，a,0)，＝(0,0，a)，＝