数据结构06.ppt

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1、第六章树和二叉树6.1树的定义和基本概念6.2二叉树6.2.1树的定义和基本术语6.2.2二叉树的性质6.2.3二叉树的存储结构6.3遍历二叉树6.3.1遍历二叉树6.3.2线索二叉树6.4树和森林6.4.1树的存储结构6.4.2森林与二叉树的转换树型结构是一类重要的非线性结构。树型结构是结点之间有分支，并且具有层次关系的结构，它非常类似于自然界中的树。树结构在客观世界国是大量存在的，例如家谱、行政组织机构都可用树形象地表示。树在计算机领域中也有着广泛的应用，例如在编译程序中，用树来表示源程序的语

2、法结构；在数据库系统中，可用树来组织信息；在分析算法的行为时，可用树来描述其执行过程。等等。6.1树的定义和基本术语定义：树(Tree)是n(n>=0)个结点的有限集T，T为空时称为空树，否则它满足如下两个条件：（1）有且仅有一个特定的称为根(Root)的结点；(2)其余的结点可分为m(m>=0)个互不相交的子集T1,T2,T3…Tm，其中每个子集又是一棵树，并称其为子树(Subtree)。6.2二叉树二叉树在树结构的应用中起着非常重要的作用，因为对二叉树的许多操作算法简单，而任何树都可以与二叉树

3、相互转换，这样就解决了树的存储结构及其运算中存在的复杂性。6.2.1二叉树的定义定义：二叉树是由n(n>=0)个结点的有限集合构成，此集合或者为空集，或者由一个根结点及两棵互不相交的左右子树组成，并且左右子树都是二叉树。这也是一个递归定义。二叉树可以是空集合，根可以有空的左子树或空的右子树。二查树不是树的特殊情况，它们是两个概念。二叉树结点的子树要区分左子树和右子树，即使只有一棵子树也要进行区分，说明它是左子树，还是右子树。这是二叉树与树的最主要的差别。图6.8列出二差树的5种基本形态，图6.8(

4、C)和图6.8（d）是不同的两棵二叉树。(a)空二叉树AABABACB(b)根和空的左右子树(c)根和左子树(d)根和右子树(e)根和左右子树图6.8二叉树的5种形式6.2.2二叉树的性质二叉树具有下列重要性质：性质1：在二叉树的第i层上至多有2i-1个结点(i>=1)。采用归纳法证明此性质。当i=1时，只有一个根结点，2i-1=20=1,命题成立。现在假定多所有的j，1<=j

5、个结点。由于二叉树每个结点的度最大为2，故在第i层上最大结点数为第i－1层上最大结点数的二倍，即2×2i-2＝2i-1。命题得到证明。性质2：深度为k的二叉树至多有2k－1个结点（k>=1).深度为k的二叉树的最大的结点时为二叉树中每层上的最大结点数之和，由性质1得到每层上的最大结点数，：EkI=1（第i层上的最大结点数）=EkI=12i-1=2k–1性质3：对任何一棵二叉树，如果其终端结点数为n0，度为2的结点数为n2，则n0＝n2＋1。设二叉树中度为1的结点数为n1，二叉树中总结点数为N，因为

6、二叉树中所有结点均小于或等于2，所以有：N＝n0＋n1＋n2(6-1)再看二叉树中的分支数，除根结点外，其余结点都有一个进入分支，设B为二叉树中的分支总数，则有：N＝B＋1。由于这些分支都是由度为1和2的结点射出的，所有有：B＝n1+2*n2N＝B＋1＝n1＋2×n2＋1（6－2)由式（6－1）和（6－2）得到：n0+n1+n2=n1+2*n2+1n0＝n2＋1下面介绍两种特殊形态的二叉树：满二叉树和完全二叉树。一棵深度为k且由2k-1个结点的二叉树称为满二叉树。图6.9就是一棵满二叉树，对结点进

7、行了顺序编号。如果深度为k、由n个结点的二叉树中个结点能够与深度为k的顺序编号的满二叉树从1到n标号的结点相对应，2453671图6.9满二叉树12345612345712367(a)完全二叉树(b)非完全二叉树(c)非完全二叉树图6.10完全二叉树则称这样的二叉树为完全二叉树，图6..10（b）、c）是2棵非完全二叉树。满二叉树是完全二叉树的特例。完全二叉树的特点是：（1)所有的叶结点都出现在第k层或k－1层。（2）错任一结点，如果其右子树的最大层次为1，则其左子树的最大层次为1或l＋1。性质4

8、：具有n个结点的完全二叉树的深度为[log2n]＋1。符号【x】表示不大于x的最大整数。假设此二叉树的深度为k，则根据性质2及完全二叉树的定义得到：2k-1－11，则