5-2(1) - 副本.ppt

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1、寻找§2方阵的特征值与特征向量本章中心：使二次型转换为标准形正交变换具有保距性和保角性保持形状不变的可逆线性变换正交变换本章结构：二次型的定义及矩阵表示正交向量组特征值与特征向量方阵对角化的充要条件对称方阵对角化二次型化标准型本节重点：(1)矩阵的特征值与特征向量概念(2)矩阵的特征值与特征向量的计算(3)矩阵的特征值与特征向量的性质一、特征值与特征向量定义：定义1设A是n阶方阵，和n维非零列向量p称为A的对于特征值使得非零向量p如果数的特征向量.那么数称为方阵A的特征值，二、特征值判定和计算：n维非零列向量p,st.n

2、维非零列向量p,st.有非零解p,特征多项式定义：定义2称为n阶矩阵A的特征方程；称为n阶矩阵A的特征多项式.求n阶特征值和特征向量的方法：1.求特征多项式就是n阶矩阵A的特征值；2.求特征方程的根的非零解，3.求解齐次线性方程组就是n阶矩阵A的特征向量.例1：求矩阵解（1）A的特征多项式（2）A的特征值为的特征值与特征向量。（1）特征多项式（2）特征值为（3）相应于特征值相应于的特征向量为的特征向量应满足例1：求矩阵的特征值与特征向量。（4）相应于特征值相应于的特征向量为的特征向量应满足例1：求矩阵的特征值与特征向量。

3、相应于的特征向量为相应于的特征向量为结果分析：线性无关正交例1：求矩阵的特征值与特征向量。求矩阵的特征值与特征向量。例2：解得基础解系得基础解系得特征向量得特征向量结果分析：是线性无关向量组不是正交向量组求矩阵的特征值与特征向量。例2：例3求矩阵的特征值与特征向量。解得基础解系得基础解系得特征向量得特征向量结果分析：是线性无关向量组，不是正交向量组例3求矩阵的特征值与特征向量。三、特征向量性质：定理1一个特征向量不可能对应两个不同的特征值.定理2每一个特征值对应一系列特征向量.证明：不同特征值的特征向量线性无关定理3那么

4、是分别与之对应的特征向量,线性无关.是方阵A的不同特征值，证明：定理4是对应的线性无关的特征向量组,是对应的线性无关的特征向量组,是对应的线性无关的特征向量组,那么线性无关.是方阵A的不同特征值，证明：数学归纳法时结论自然正确时（1）式两端同时左乘A，得（1）式两端同时左乘λ1得代入（1）得证线性无关假设对于个不同特征值结论正确.下面考虑m个不同特征值：由假设，知代回（2）得即得证m时结论正确，命题得证.四、特征值性质：定理5则（1）是的特征值.(2)的特征值.(4)的特征值.(3)的特征值.定理6设n个特征值为，则有（

5、2）（1）例4思考题1：思考题2：