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1、电大微积分初步考试精品小抄一、填空题⒈函数的定义域是（－∞，5）．5－＞0→＜5⒉1．，⒊已知，则=．⒋若，则．⒌微分方程的阶数是 三阶．∵6.函数的定义域是（-2，-1）U（-1，∞)∴7. 2 ．8.若y=x(x–1)(x–2)(x–3)，则(0)=-6y=x(x-1)(x-2)(x-3)=(x2-x)(x2-5x+6)=x4-5x3+6x2-x3+5x2-6x=x4-6x3+11x2-6x,（把0带入X）9.或10.微分方程的特解为y=ex.又y(0)=1(x=0,y=1)11.函数的定义域是12.若函数,在处连续，则 1 ．(在处连续)∵（无穷小量x有界函
2、数）13.曲线在点处的切线方程是，14.sinx+c15.微分方程的阶数为三阶16.函数的定义域是（2,3）U（3，∞）17. 1/2 18.已知，则= 27+27ln3 19.= ex2+c20.微分方程的阶数为四阶二、单项选择题⒈设函数，则该函数是（偶函数）．∵⒉函数的间断点是（）分母无意义的点是间断点∴⒊下列结论中（在处不连续，则一定在处不可导）正确．可导必连续，伹连续并一定可导；极值点可能在驻点上，也可能在使导数无意义的点上⒋如果等式，则（）⒌下列微分方程中，（）是线性微分方程．6.设函数，则该函数是（奇函数）．7.当（2）时，函数在处连续.8.下列函数在
3、指定区间上单调减少的是（）．9.以下等式正确的是（）10.下列微分方程中为可分离变量方程的是（）11.设，则（）12.若函数f(x)在点x0处可导，则(，但)是错误的．13.函数在区间是（先减后增） 14.(）15.下列微分方程中为可分离变量方程的是（）16.下列函数中为奇函数是（）17.当（）时，函数在处连续.18.函数在区间是（先单调下降再单调上升） 19.在切线斜率为2x的积分曲线族中，通过点（1,4）的曲线为（y=x2+3）．20.微分方程的特解为（）．三、计算题⒈计算极限．解:⒉设，求.解：，u=-2x′·(-2x)′=eu·（-2）=-2·e-2x∴y
4、′=-2e-2x+∴dy=(-2·e-2x+)dx⒊计算不定积分解：令u=,u′=∴∴·2du==2(-cos)+c=-2cos⒋计算定积分u=x，v′=ex,v=ex∴v′dx=uv∴原式=25.计算极限6.设，求解：y1=lncosxy1=lnu1,u=cosx∴y1=∴dy=()dx7.计算不定积分解：令u=1-2x,u′=-2∴8.计算定积分解：u=x,=9.计算极限10.设，求y1=sin3xy1=sinu,u=3x,∴y′=2xln2+3cos3x∴dy=(2xln2+3cos3x)dx11.计算不定积分u=x,v′=cosx,v=sinx12.计算定
5、积分令u=lnx,u′=,du=dx,1≤x≤e0≤lnx≤1∴∴原式=1+5·=13.计算极限解：14.设，求解：(),,,)15.计算不定积分解：u=2x-1,=2du=2dx∴16.计算定积分解：u=x,,四、应用题（本题16分）用钢板焊接一个容积为4的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？解：设水箱的底边长为x，高为h,表面积为s，且有h=所以S(x)=x2+4xh=x2+令（x）=0，得x=2因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以x=2，h=1时水箱的表面积最小。此时的费用为
6、S（2）×10+40=160元欲用围墙围成面积为216平方米的一块矩形的土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽各选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？设长方形一边长为x，∵S=216∴另一边长为216/x∴总材料y=2x+3·216/x=2x+y′=2+648·(x-1)′=2+648·(-1·)=2-y′=0得2=∴x2=324∴x=18∴一边长为18，一边长为12时，用料最省. 欲做一个底为正方形，容积为32立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？设底边长为a∴底面积为a2a2h=v=32∴h=∴表面积为a2+4ah=a2+4a·=a2+y=
7、a2+,y′=2a+128·(-)=2a-y′=0得2a=∴a3=64∴a=4∴底面边长为4，h==2设矩形的周长为120厘米，以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体。试求矩形的边长为多少时，才能使圆柱体的体积最大。解：设矩形一边长为x，另一边为60-x以AD为轴转一周得圆柱，底面半径x，高60-x∴V=得：∴矩形一边长为40，另一边长为20时，Vmax三、计算题⒈计算极限．解:⒉设，求.解：，u=-2x′·(-2x)′=eu·（-2）=-2·e-2x∴y′=-2e-2x+∴dy=(-2·e-2x+)dx⒊计算不定积分解：令u=,u′=∴∴·2du==2(-cos)+
8、c=-2c
