复变函数映射.ppt

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1、第三讲　复变函数与解析函数1.复变函数的定义2.映射的概念3.反函数或逆映射§3复变函数1.复变函数的定义—与实变函数定义相类似定义例1例2oxy(z)Gouv(w)GG*w=f(z)在几何上，w=f(z)可以看作：定义域函数值集合2.映射的概念——复变函数的几何意义zw=f(z)w以下不再区分函数与映射（变换）。在复变函数中用两个复平面上点集之间的对应关系来表达两对变量u，v与x，y之间的对应关系，以便在研究和理解复变函数问题时，可借助于几何直观.复变函数的几何意义是一个映射（变换）例3解—关于实轴对称的一个映射见图1-1~1-2—

2、旋转变换(映射)见图2例4解oxy(z)x、uy、v(z)、(w)ox、uy、v(z)、(w)o图1-1图1-2图2uv(w)o例5oxy(z)ouv(w)oxy(z)ouv(w)R=2R=43.反函数或逆映射例设z=w2则称为z=w2的反函数或逆映射∴为多值函数,2支.定义设w=f(z)的定义集合为G,函数值集合为G*则称z=φ(w)为w=f(z)的反函数（逆映射）.例已知映射w=z3，求区域0

3、o几何意义:当变点z一旦进入z0的充分小去心邻域时,它的象点f(z)就落入A的一个预先给定的ε邻域中(1)意义中的方式是任意的.与一元实变函数相比较要求更高.(2)A是复数.2.运算性质复变函数极限与其实部和虚部极限的关系：定理1(3)若f(z)在处有极限,其极限是唯一的.定理2以上定理用极限定义证!例1例2例33.函数的连续性定义定理3例4证明f(z)=argz在原点及负实轴上不连续。证明xy(z)ozz定理4连续函数的和、差、积、商(分母不为0)仍为连续函数;连续函数的复合函数仍为连续函数。有界性：第二章解析函数第一节解析函数的概

4、念第二节函数解析的充要条件第三节初等函数1.复变函数的导数定义2.解析函数的概念§2.1解析函数的概念一.复变函数的导数(1)导数定义定义设函数w=f(z)z∈D,且z0、z0+Δz∈D，如果极限存在，则称函数f(z)在点z0处可导。称此极限值为f(z)在z0的导数，记作如果w=f(z)在区域D内处处可导，则称f(z)在区域D内可导。(1)Δz→0是在平面区域上以任意方式趋于零。(2)z=x+iy,Δz=Δx+iΔy,Δf=f(z+Δz)-f(z)例1(2)求导公式与法则①常数的导数c=(a+ib)=0.②(zn)=nzn-1(

5、n是自然数).证明对于复平面上任意一点z0，有----实函数中求导法则的推广③设函数f(z),g(z)均可导，则[f(z)±g(z)]=f(z)±g(z)，[f(z)g(z)]=f(z)g(z)+f(z)g(z)④复合函数的导数(f[g(z)])=f(w)g(z)，其中w=g(z)。⑤反函数的导数，其中:w=f(z)与z=(w)互为单值的反函数，且(w)0。思考题例3问：函数f(z)=x+2yi是否可导？例2解解例4证明f(z)=zRez只在z=0处才可导。证明(1)复变函数在一点处可导，要比实函数在一点处可

6、导要求高得多，也复杂得多，这是因为Δz→0是在平面区域上以任意方式趋于零的原故。(2)在高等数学中要举出一个处处连续，但处处不可导的例题是很困难的,但在复变函数中，却轻而易举。(3)可导与连续若w=f(z)在点z0处可导w=f(z)点z0处连续.?二.解析函数的概念定义如果函数w=f(z)在z0及z0的某个邻域内处处可导，则称f(z)在z0解析；如果f(z)在区域D内每一点都解析，则称f(z)在D内解析，或称f(z)是D内的解析函数(全纯函数或正则函数）。如果f(z)在点z0不解析，就称z0是f(z)的奇点。(1)w=f(z)在D内解

7、析在D内可导。(2)函数f(z)在z0点可导，未必在z0解析。例如(1)w=z2在整个复平面处处可导，故是整个复平面上的解析函数；(2)w=1/z，除去z=0点外，是整个复平面上的解析函数；(3)w=zRez在整个复平面上处处不解析(见例4)。定理1设w=f(z)及w=g(z)是区域D内的解析函数，则f(z)±g(z)，f(z)g(z)及f(z)g(z)(g(z)≠0时)均是D内的解析函数。定理2设w=f(h)在h平面上的区域G内解析,h=g(z)在z平面上的区域D内解析,h=g(z)的函数值集合G，则复合函数w=f[g(z)]在D

8、内处处解析。