数列解答题集锦.doc

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1、数列解答题集锦三、解答题：本大题共5小题，共70分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1.（本题满分14分，第1小题4分，第2小题5分，第3小题5分）.已知函数的图象关于点对称.(Ⅰ)求实数的值;(Ⅱ)若数列,满足,求数列的通项公式;(Ⅲ)记若恒成立,求的最小值.解（Ⅰ）；∵的图象关于点对称，∴-----------------------------------4分（Ⅱ）∵，∴；又，∴；∴；化简得；-----------------------------------6分∴；∴数列是首项，公比为的等比数列；∴，．---

2、------------------------------------9分(Ⅲ)；∴；∴M的最小值为．---------------------------------------14分2.设关于x的一元二次方程（）有两根和，且满足.（1）试用表示；（2）求证：数列{}是等比数列；（3）当时，求数列{}的通项公式.解:（1）（2）略（3）3.（1）求数列的通项公式.（2）求的通项公式.解:(1)设等比数列的公比为,则又所以所以又且所以所以所以.(2)设等比数列的公比为,则又所以所以又且所以所以设,而为等比数列所以=4.(本小题共14分)已知二次函数，其

3、中。（Ⅰ）设函数的图象的顶点的横坐标构成数列，求证：数列为等差数列；（Ⅱ）设函数的图象的顶点到轴的距离构成数列，求数列的前项和．解:（Ⅰ）由二次函数的对称轴为得∵对且，有∴为等差数列。（Ⅱ）由题意，，即∴当时，当时，∴5.（本小题满分14分）对于数列{an}，定义{△an}为数列{an}的一阶差分数列，其中（Ⅰ）若数列{an}的通项公式的通项公式；（Ⅱ）若数列{an}的首项是1，且满足，（1）证明数列为等差数列；（2）求{an}的前n项和Sn5．解：（I）依题意（3分）（II）（1）由（6分）即是以为首项，为公差的等差数列（8分）（2）由（1）得（10分

4、）①②①－②得（14分）6.设等差数列的前项和为，且，。数列满足，，，①求数列的通项公式；②设，求证：是等比数列，且的通项公式；③设数列满足，求的前项和为解:（1）由，得，（2），是以2为公比的等比数列又（3）++…＋（１＋２＋…＋）－ｎ　　＝　　＝7.设为等比数列，,已知，（1）求数列的首项和公比；（2）求数列的通项公式。解：(1)设公比为,所以(2)2②-①得：8．数列满足①证明：数列是等比数列；②令，求数列的前n项和。解：①有已知得∴故数列是以为首项，为公比的等比数列②由①知，∴数列是以为首项，为公差的等差数列∴∴9．（14分）已知：在曲线（1）求

5、数列{an}的通项公式；（2）数列{bn}的前n项和为Tn，且满足，设定b1的值，使得数列{bn}是等差数列；（3）求证：解：（1）由于（2）此时数列{bn}是等差数列……………………………………………………10′（3）10．（12分）已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn+1=KSn+2,又a1=2,a2=1.（1）求k的值；（2）求Sn；（3）已知存在正整数m、n，使成立，试求出m、n的值.解：（1）∵S2=KS1+2∴a1+a2=Ka1+2.又a1=2，a2=1，∴K=………………2′（2）①n≥2时，Sn=Sn－1+2②，①－②得…………………

6、…………………………………4′又a2=a1，an≠0（n∈N*）是等比数列，公比为………………………………………………7′（3）不等式整理得……………………9′∵存在正整数m，n使得上面的不等式成立，由于2n为整数，4－m为整数，则只能2n(4－m)=4…………………………………………………………10′11.（本题满10分）（2006年湖北卷）已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为.数列的前项和为，点均在函数的图像上.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，是数列的前项和，求使得对所有都成立的最小正整数.解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax2+bx(a≠0

7、),则f(x)=2ax+b,由于得a=3,b=－2,所以f(x)＝3x2－2x.又因为点均在函数的图像上，所以＝3n2－2n.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－＝6n－5.当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5（）（Ⅱ）由（Ⅰ）得知＝＝，故Tn＝＝＝（1－）.因此，要使(1－)（）成立的m,必须且仅须满足≤，即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10.点评：本小题考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题的能力和推理能力。12．一个计算器装置有一个数据入口A和一输出

8、运算结果的出口B，将自然数列中的各数依次输入A口，从B口得到输出的数列，结果表明