湖南大学微积分21-第21讲泰勒中值定理.ppt

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1、高等院校非数学类本科数学课程——一元微积分学大学数学（一）第二十讲泰勒中值定理脚本编写：刘楚中教案制作：刘楚中第四章一元函数的导数与微分本章学习要求：理解导数和微分的概念。熟悉导数的几何意义以及函数的可导、可微、连续之间的关系。熟悉一阶微分形式不变性。熟悉导数和微分的运算法则，能熟练运用求导的基本公式、复合函数求导法、隐函数求导法、反函数求导法、参数方程求导法、取对数求导法等方法求出函数的一、二阶导数和微分。了解n阶导数的概念，会求常见函数的n阶导数。熟悉罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理，并能较好运用上述定理解决有关问题（函数方程求解、不等式的证明等）。

2、掌握罗必塔法则并能熟练运用它计算有关的不定式极限。第七节泰勒中值定理第四章一元函数的导数与微分一.带皮亚诺余项的泰勒公式二.带拉格朗日余项的泰勒公式三.泰勒公式的几何应用泰勒中值定理泰勒中值定理的产生：微分带皮亚诺余项的泰勒公式拉格朗日中值定理泰勒公式带拉格朗日余项的泰勒公式还有带其它余项的一.带皮亚诺余项的泰勒公式带皮亚诺余项的马克劳林公式带皮亚诺余项的泰勒公式的产生如果我们希望提高精度,应怎么办?由极限知识可知,此时应有我们先假定以下运算均成立,计算完后再看需要补充什么条件.运用罗必达法则,得该公式称为带皮亚诺余项的二阶泰勒公式.运用罗必达法则计算极限.该公式称为带皮亚诺余项

3、的三阶泰勒公式.仿照以上的做法,继续进行下去,即可得到一般的带皮亚诺余项的n阶泰勒公式.则在该邻域内有二.带拉格朗日余项的泰勒公式带拉格朗日余项的马克劳林公式带拉格朗日余项的泰勒公式的产生定理条件称为零阶带拉格朗日余项的泰勒公式.设带拉格朗日余项的一阶泰勒公式为想一想,如何求出这里的待定函数.与带皮亚诺余项的一阶泰勒公式比较,此时应有设带拉格朗日余项的二阶泰勒公式为与带皮亚诺余项的二阶泰勒公式比较,此时应有仿照以上的做法,继续进行下去,可得到一般的带拉格朗日余项的n阶泰勒公式.带皮亚诺余项的泰勒公式则在该邻域内有带拉格朗日余项的泰勒公式e的近似计算公式估计误差解例1解例2泰勒公式

4、其中,展开式的具体形式与n的奇偶性有关.其中,的偶数阶导数为零,故一般将展至偶数项,以提高精度.泰勒公式解例3其中,展开式的具体形式与n的奇偶性有关.其中,的奇数阶导数为零,故一般将展至奇数项,以提高精度.实际应用中,计算的近似值时,均展开到2m阶马克劳林公式,即有它们的误差估计式均为请自己算一下解例4为什么只要二阶？解例5误差为不难！该式中等号成立.由泰勒(马克劳林)公式综上所述,即得所证.例6证例7解三次多项式例8解例9解例10证例11证三.泰勒公式的几何应用则在该邻域内有曲线接触的概念一般地,偶阶接触、奇阶接触正负可以用来讨论切线是否穿过曲线.