空间直角坐标系.doc

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1、【本讲教育信息】一、教学内容：空间直角坐标系，包括：1、空间直角坐标系的建立；2、空间直角坐标系中点的坐标；3、空间两点间的距离公式 二、学习目标1、通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置；2、通过表示特殊长方体（所有棱分别与坐标轴平行）顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式；3、经历空间直角坐标系刻画点的过程，了解类比思维，经历用代数方法刻画几何位置的过程；4、通过在几何体中建立空间直角坐标系，进一步培养空间观念和空间想象能力；进一步了解解析几何的本质思想。 三、知识要点一）空间直

2、角坐标系的建立1、空间物体位置的描述以上图为例：一只小蚂蚁站在水泥构件O点处，在A、B、C、D、E处放有食物，如何告诉小蚂蚁食物的位置？——可以结合放有食物的各点与O点的相对位置，用方位（东、西、南、北、上、下）及需要走过的距离来描述。如：自O点出发，向东爬过5格，再向上爬过3格，再向北爬2格，即可取到放在B处的食物。2、建立空间直角坐标系：将平面直角坐标系的x轴（横轴）和y轴（纵轴）放置在水平面上，过原点O作一条与xOy平面垂直的z轴（竖轴），这样就建立了三个维度的空间直角坐标系，如图：——右手系：符合右手螺旋法则，若顺着z轴看，从x轴到y轴

3、是沿顺时针方向。3、空间直角坐标系：空间直角坐标系中，O为坐标原点，x，y，z轴统称为坐标轴。坐标轴确定的平面称为坐标平面，x，y轴确定的平面记作xOy平面，y，z轴确定的平面记作yOz平面，x，z轴确定的平面记作xOz平面. 二）空间直角坐标系中点的坐标：1、空间中点的坐标：P（x，y，z），确定方法：由P作PP＇⊥坐标平面xOy，则P＇点是平面xOy上的点，其坐标为（x，y，O），这样就确定了P的横坐标x和纵坐标y.若PP＇与z轴正半轴在平面xOy同侧，则z=

4、PP＇

5、；若PP＇与z轴正半轴在平面xOy异侧，则z=－

6、PP＇

7、，这样就确定了

8、P点的竖坐标z。2、坐标平面上点的坐标：①xOy平面上点的坐标：（x，y，0）；xOz平面上点的坐标：（x，O，z）；yOz平面上点的坐标：（0，y，z）；②x轴上点的坐标：（x，0，0）；y轴上点的坐标：（0，y，0）；z轴上点的坐标：（0，0，z）3、空间直角坐标系中长方体各顶点的坐标：设长方体ABCD－A＇B＇C＇D＇的长、宽、高分别为，将A点放在坐标原点，AB放在x轴正半轴上，AD放在y轴正半轴上，如图：则A（0，0，0），B（a，0，0），C（a，b，0），D（0，b，0），A＇（0，0，c），B＇（a，0，c），C＇（a，b，c），

9、D＇（0，b，c）. 三）空间两点间的距离公式1、长方体对角线长若长方体的长、宽、高分别为，则对角线长为；2、空间任意两点A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则

10、AB

11、= 【典型例题】考点一　建立适当的空间直角坐标系并求某些点的坐标例1：如图，正三棱柱ABC－A1B1C1各棱长均为2，试建立适当坐标系，确定各顶点的坐标。 图a                                          图b解：以图a为例。建立空间直角坐标系如图a。易知，C（0，0，0），B（0，2，0），C1（0，0，2），B1（0，2，2）

12、；可求得：A（），则A1（）。说明：建立空间直角坐标系一定要充分利用图形的垂直关系和对称关系，这样容易探求各点坐标。 考点二 空间直角坐标系中对称点的坐标例1：已知空间中任意一点Ｐ（x，y，z），分别求Ｐ关于坐标轴、坐标平面和坐标原点对称的各点坐标。解：设空间直角坐标系中任意点Ｐ（x，y，z）．作辅助图形如上。则：①与Ｐ关于x轴对称的点P1（x，－y，－z）；与Ｐ关于y轴对称的点P2（－x，y，－z）；与Ｐ关于z轴对称的点P3（－x，－y，z）；②与Ｐ关于xOy平面对称的点p＇（x，y，－z）；与Ｐ关于yOz平面对称的点p''（－x，y，z）与

13、Ｐ关于xOz平面对称的点p'''（x，－y，z）；③与Ｐ关于Ｏ点对称的点Ｐo（－x，－y，－z）．说明：构造长方体来研究对称点的坐标十分方便。 考点三 空间两点的距离例3：已知A（1，2，－1），B（2，0，2），在xOz平面内的点M到A与B等距离，求M点的轨迹。解：设M（x，y，z），由题意：

14、MA

15、=

16、MB

17、，代入两点的距离公式即得：x+3z－1=0。因此M点的轨迹是xOz平面内的一条直线。说明：①求点的轨迹与求点的轨迹方程的区别；②对本题中M点的轨迹进行描述时要注意到：该轨迹上的任意一点的横坐标y=0，这是平面xOz上点的特征。 考点四 

18、空间中的直线、平面与球面方程　例4：求空间中到原点O（0，0，0）的距离为1的点M的轨迹。解：设M（x，y，z），由题意：

19、MO

20、=1，代入坐标即得：