布拉美古塔定理.doc

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1、分享到布拉美古塔定理1内容在圆内接四边形ABCD中，AC⊥BD,自对角线的交点P向一边作垂线，其延长线必平分对边。（又译"卜拉美古塔定理"）这个定理有另一个名称,叫做"婆罗摩笈多定理"2证明证法一设PH⊥CD,PM交AB于M.显然AP/BP=DP/CP,故AM=BM←AP*sin∠APM=BP*sin∠BPM←DP*sin∠PDH=CP*sin∠PCD←PH=PH,证毕证法二以下为向量式设BF=xAF则EF=（EB+xEA）/(1+x)（定比分点向量公式）又EF*BC=EF*(DE+EC)=0所以（EB+xEA)(DE+EC

2、)=0拆开EB*DE+EB*EC+xEA*DE+xEA*EC=0由垂直所以只有EB*DE+xEA*EC=0由相交线定理所以x=1（EA*EC=EB*ED)（这是代数式，上式为向量式，故成立）证法三证明：（向量式）EF=1/2(EA+EB)DC=DE+ECEF*DC=0（去掉垂直的）证法四再给出一个用欧几里得几何方法的初等证明：由∠PDC+∠ACD=90°,∠PDC+∠HPD=90°推出∠ACD=∠HPD推出∠ABD=∠MPB①推出BM=PM②由∠ABD+∠BAC=90°及①推出∠BAC+∠MPB=90°③由∠MPA+∠MPB

3、=90°及③推出∠BAC=∠MPA推出AM=PM④联②④即得AM=BM3推广推广过圆内接四边形两对角线交点作任一边的垂线，必过以其对边为一边，以交点为顶点的三角形的外心。