2019_2020学年高中数学第4章指数函数与对数函数4.1指数4.1.1n次方根与分数指数幂教学案新人教A版.docx

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1、4.1.1　n次方根与分数指数幂(教师独具内容)课程标准：1.理解根式的定义和性质、分数指数幂的定义.2.把握分式与负整数指数幂、根式与正分数指数幂的内在联系．教学重点：1.根式的定义和性质.2.根式与分数指数幂的联系.3.正分数指数幂与负分数指数幂的联系．教学难点：1.指数幂的含义及其与根式的互化.2.与()n的区别与联系．【知识导学】知识点一　根式的定义(1)a的n次方根的定义：一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*.(2)a的n次方根的表示①当n是奇数时，a的n次方根表示为，a∈R；②当n是偶数时，a的n次方根表示为±，其中－

2、表示a的负的n次方根，a∈[0，＋∞)．(3)根式：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．知识点二　根式的性质(1)()n＝a(n为奇数时，a∈R；n为偶数时，a≥0，且n＞1)．(2)＝.知识点三　分数指数幂的意义(1)a＝，a＝＝(其中a>0，m，n∈N*，且n>1)．(2)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．知识点四　有理数指数幂的运算性质(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)．(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)．(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．【新知拓展】1.与()n的区别(1)是实数an

3、的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶限制，但这个式子的值受n的奇偶限制．其算法是对a先乘方，再开方(都是n次)，结果不一定等于a，当n为奇数时，＝a；当n为偶数时，＝

4、a

5、＝(2)()n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值范围由n的奇偶决定．其算法是对a先开方，后乘方(都是n次)，结果恒等于a.2.分数指数幂的理解(1)分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂a不可理解为个a相乘，它是根式的一种新的写法．在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已．(2)把根式化成分数指数幂的形式时，不要轻易对进行约分．3.在保证相应

6、的根式有意义的前提下，负数也存在分数指数幂，如(－5)＝有意义，但(－5)＝就没有意义．1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)因为32＝9，所以3是9的平方根．(　　)(2)当n∈N*时，()n都有意义．(　　)(3)＝π－3.(　　)答案　(1)√　(2)×　(3)√2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)用根式的形式表示下列各式(a>0)：①a＝________；②a＝________；③a＝________；④a＝________.(2)将下列根式写成分数指数幂的形式(其中a>b>0)．①＝________；②＝________；③＝___

7、_____；④＝________.(3)若n为偶数时，＝x－1，则x的取值范围为________．答案　(1)①　②　③　④(2)①(a－b)　②(a2－b2)　③(a2b－ab2)　④(a2－b2)　(3)x≥1题型一根式的概念　利用根式的性质化简例1　(1)①16的平方根为________，－27的5次方根为________；②已知x7＝6，则x＝________；③若有意义，则实数x的取值范围是________；(2)化简：①(x<π，n∈N*)；②.[解析]　(1)①∵(±4)2＝16，∴16的平方根为±4.－27的5次方根为.②∵x7＝6，∴x＝.③要

8、使有意义，则需x－2≥0，即x≥2.因此实数x的取值范围是[2，＋∞)．(2)①∵x<π，∴x－π<0，当n为偶数时，＝

9、x－π

10、＝π－x；当n为奇数时，＝x－π.综上，＝②∵a≤，∴1－2a≥0，∴＝＝

11、2a－1

12、＝1－2a.[答案]　(1)①±4　　②　③[2，＋∞)(2)见解析金版点睛1.判断关于n次方根的结论应关注的两点(1)n的奇偶性决定了n次方根的个数；(2)n为奇数时，a的正负决定着n次方根的符号．2.根式化简求值解题思路解决根式的化简问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行解答.　(1)下列说法正确的个数是(　　)①16

13、的4次方根是2；②的运算结果是±2；③当n为大于1的奇数时，对任意a∈R都有意义；④当n为大于1的偶数时，只有当a≥0时才有意义．A.1B．2C．3D．4(2)已知m10＝2，则m等于(　　)A.B．－C.D．±(3)化简下列各式：①；②()3；③.答案　(1)B　(2)D　(3)见解析解析　(1)①16的4次方根应是±2；②＝2，③④正确．(2)∵m10＝2，∴m是2的10次方根．又∵10是偶数，∴2的10次方根有两个，且互为相反数，∴m＝±.(3)①＝＝－3.②()3＝－9.③＝

14、a－b

15、＝题型二根式与分数指数幂的互化例2　下列根式与分数指数幂的互化中，正确

16、的是(　　)A.－＝(－