2013年高考文科数学安徽卷试题与答案word解析版.doc

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1、2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(安徽卷)18．(2013安徽，文18)(本小题满分12分)如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°.已知PB＝PD＝2，PA＝.(1)证明：PC⊥BD；(2)若E为PA的中点，求三棱锥P－BCE的体积．(1)证明：连接AC，交BD于O点，连接PO.因为底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD，BO＝DO.由PB＝PD知，PO⊥BD．再由PO∩AC＝O知，BD⊥面APC，因此BD⊥PC．19．(2013安徽，文19)(本小题满分13分)设数列{an}满足a1＝2，a2＋a4＝8，且对任意n∈N*，函数f(x)

2、＝(an－an＋1＋an＋2)x＋an＋1cosx－aa＋2sinx满足.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝2，求数列{bn}的前n项和Sn.20．(2013安徽，文20)(本小题满分13分)设函数f(x)＝ax－(1＋a2)x2，其中a＞0，区间I＝{x

3、f(x)＞0}．(1)求I的长度(注：区间(α，β)的长度定义为β－α)；(2)给定常数k∈(0,1)，当1－k≤a≤1＋k时，求I长度的最小值．21．(2013安徽，文21)(本小题满分13分)已知椭圆C：(a＞b＞0)的焦距为4，且过点P(，)．(1)求椭圆C的方程；(2)设Q(x0，y0)(x0y0≠0)为椭圆C上

4、一点．过点Q作x轴的垂线，垂足为E.取点A(0,)，连接AE.过点A作AE的垂线交x轴于点D．点G是点D关于y轴的对称点，作直线QG.问这样作出的直线QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点？并说明理由．2013安徽文科数学第3页2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(安徽卷)18．(1)证明：连接AC，交BD于O点，连接PO.因为底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD，BO＝DO.由PB＝PD知，PO⊥BD．再由PO∩AC＝O知，BD⊥面APC，因此BD⊥PC．(2)解：因为E是PA的中点，所以VP－BCE＝VC－PEB＝VC－PAB＝VB－APC．由PB＝PD＝AB＝AD＝2知

5、，△ABD≌△PBD．因为∠BAD＝60°，所以PO＝AO＝，AC＝，BO＝1.又PA＝，PO2＋AO2＝PA2，即PO⊥AC，故S△APC＝PO·AC＝3.由(1)知，BO⊥面APC，因此VP－BCE＝VB－APC＝··BO·S△APC＝.19．解：(1)由题设可得，f′(x)＝an－an＋1＋an＋2－an＋1sinx－an＋2cosx．对任意n∈N*，＝an－an＋1＋an＋2－an＋1＝0，即an＋1－an＝an＋2－an＋1，故{an}为等差数列．由a1＝2，a2＋a4＝8，解得{an}的公差d＝1，所以an＝2＋1·(n－1)＝n＋1.(2)由bn＝2＝2＝2n＋＋2知，S

6、n＝b1＋b2＋…＋bn＝2n＋2·＋＝n2＋3n＋1－.20．解：(1)因为方程ax－(1＋a2)x2＝0(a＞0)有两个实根x1＝0，，故f(x)＞0的解集为{x

7、x1＜x＜x2}，因此区间I＝，区间长度为.(2)设d(a)＝，则d′(a)＝，令d′(a)＝0，得a＝1.由于0＜k＜1，故当1－k≤a＜1时，d′(a)＞0，d(a)单调递增；当1＜a≤1＋k时，d′(a)＜0，d(a)单调递减．因此当1－k≤a≤1＋k时，d(a)的最小值必定在a＝1－k或a＝1＋k处取得．而，故d(1－k)＜d(1＋k)．2013安徽文科数学第3页因此当a＝1－k时，d(a)在区间[1－k,1＋k

8、]上取得最小值.21．解：(1)因为焦距为4，所以a2－b2＝4.又因为椭圆C过点P(，)，所以，故a2＝8，b2＝4，从而椭圆C的方程为.(2)由题意，E点坐标为(x0,0)．设D(xD,0)，则＝(x0，)，＝(xD，)．再由AD⊥AE知，·＝0，即xDx0＋8＝0.由于x0y0≠0，故xD＝.因为点G是点D关于y轴的对称点，所以点G.故直线QG的斜率kQG＝.又因Q(x0，y0)在椭圆C上，所以x02＋2y02＝8.①从而kQG＝.故直线QG的方程为.②将②代入椭圆C方程，得(x02＋2y02)x2－16x0x＋64－16y02＝0.③再将①代入③，化简得x2－2x0x＋x02＝

9、0.解得x＝x0，y＝y0，即直线QG与椭圆C一定有唯一的公共点．2013安徽文科数学第3页