（课标专用）天津市2020高考数学二轮复习专题能力训练16椭圆、双曲线、抛物线.docx

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1、专题能力训练16　椭圆、双曲线、抛物线　专题能力训练第38页　 一、能力突破训练1.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=52x,且与椭圆x212+y23=1有公共焦点,则C的方程为(　　)A.x28-y210=1B.x24-y25=1C.x25-y24=1D.x24-y23=1答案:B解析:由题意得ba=52,c=3.因为a2+b2=c2,所以a2=4,b2=5,故C的方程为x24-y25=1.2.已知以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线

2、于D,E两点.若

3、AB

4、=42,

5、DE

6、=25,则C的焦点到准线的距离为(　　)A.2B.4C.6D.8答案:B解析:不妨设抛物线C的方程为y2=2px(p>0),圆的方程为x2+y2=R2.因为

7、AB

8、=42,所以可设A(m,22).又因为

9、DE

10、=25,所以R2=5+p24,m2+8=R2,8=2pm,解得p2=16.故p=4,即C的焦点到准线的距离是4.3.若双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为3,则其渐近线方程为(　　)A.y=±2xB.y=±3xC.y=±22xD.

11、y=±32x答案:A解析:∵e=ca=3,∴c2a2=b2+a2a2=ba2+1=3.∴ba=2.∵双曲线焦点在x轴上,∴渐近线方程为y=±bax,∴渐近线方程为y=±2x.4.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为(　　)A.x24-y212=1B.x212-y24=1C.x23-y29=1D.x29-y23=1答案:C解析:由双曲

12、线的对称性,不妨取渐近线y=bax.如图所示,

13、AD

14、=d1,

15、BC

16、=d2,过点F作EF⊥CD于点E.由题易知EF为梯形ABCD的中位线,所以

17、EF

18、=12(d1+d2)=3.又因为点F(c,0)到y=bax的距离为

19、bc-0

20、a2+b2=b,所以b=3,b2=9.因为e=ca=2,c2=a2+b2,所以a2=3,所以双曲线的方程为x23-y29=1.故选C.5.设双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A,B两点,与双曲线的一个交点为

21、P,设O为坐标原点.若OP=mOA+nOB(m,n∈R),且mn=29,则该双曲线的离心率为(　　)A.322B.355C.324D.98答案:C解析:在y=±bax中,令x=c,得Ac,bca,Bc,-bca.在双曲线x2a2-y2b2=1中,令x=c,得Pc,±b2a.当点P的坐标为c,b2a时,由OP=mOA+nOB,得c=(m+n)c,b2a=mbca-nbca,则m+n=1,m-n=bc.由m+n=1,mn=29,得m=23,n=13或m=13,n=23(舍去),∴bc=13,∴c2-

22、a2c2=19,∴e=324.同理,当点P的坐标为c,-b2a时,e=324.故该双曲线的离心率为324.6.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直线,点B为该双曲线的焦点.若正方形OABC的边长为2,则a=　　　　　. 答案:2解析:∵四边形OABC是正方形,∴∠AOB=45°,∴不妨设直线OA的方程即双曲线的一条渐近线的方程为y=x.∴ba=1,即a=b.∵

23、OB

24、=22,∴c=22.∴a2+b2=c2,即a2+a2=(22)2,可得

25、a=2.7.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若∠MAN=60°,则C的离心率为.答案:233解析:如图所示,由题意可得

26、OA

27、=a,

28、AN

29、=

30、AM

31、=b.∵∠MAN=60°,∴

32、AP

33、=32b,

34、OP

35、=

36、OA

37、2-

38、PA

39、2=a2-34b2.设双曲线C的一条渐近线y=bax的倾斜角为θ,则tanθ=

40、AP

41、

42、OP

43、=32ba2-34b2.∵tanθ=ba,∴32ba2-34b2=ba,解

44、得a2=3b2,∴e=1+b2a2=1+13=233.8.如图,已知抛物线C1:y=14x2,圆C2:x2+(y-1)2=1,过点P(t,0)(t>0)作不过原点O的直线PA,PB分别与抛物线C1和圆C2相切,A,B为切点.(1)求点A,B的坐标;(2)求△PAB的面积.注:直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则称该直线与抛物线相切,称该公共点为切点.解:(1)由题意知直线PA的斜率存在,故可设直线PA的方程为y=k(x-t).由y=k(x-t),y=14x2消去y,整理得