第4章 贪心算法.ppt

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1、第4章贪心算法1学习要点理解贪心算法的概念。掌握贪心算法的基本要素（1）最优子结构性质（2）贪心选择性质理解贪心算法与动态规划算法的差异理解贪心算法的一般理论通过应用范例学习贪心设计策略。（1）活动安排问题；（2）最优装载问题；（3）哈夫曼编码；（4）单源最短路径；（5）最小生成树；（6）多机调度问题。2一个找硬币的例子假设有四种硬币：二角五分、一角、五分和一分。现要找给顾客六角三分。显然，会拿出2个二角五分、1个一角和3个一分的硬币交给顾客。贪心方法思路：首先选出一个面值不超过六角三分的最大硬币，即二角五分，然后在剩余数中再选最大面值的硬币，依此类推，得到其解。3若硬

2、币面值改为：一角一分、五分和一分，而要找给顾客一角五分钱。用贪心算法将找给1个一角一分和4个一分的硬币。然而，3个五分硬币是最好的找法。此时，贪心算法没有得到整体最优解。但通常可得到最优解的很好近似。4贪心算法总是作出在当前看来最好的选择。贪心算法并不从整体最优考虑，它所作出的选择只是在某种意义上的局部最优选择。希望贪心算法得到的最终结果也是整体最优的。虽然贪心算法不能对所有问题都得到整体最优解，但对许多问题它能产生整体最优解。在一些情况下，即使贪心算法不能得到整体最优解，其最终结果却是最优解的很好近似。5贪心算法的一般框架GreedyAlgorithm(paramet

3、ers){初始化；重复执行以下的操作：选择当前可以选择的最优解；将所选择的当前解加入到问题的解中去；直至满足问题求解的结束条件。}64.1活动安排问题活动安排问题:在所给的活动集合中选出最大的相容活动子集合。该问题要求高效地安排一系列争用某一公共资源的活动。贪心算法使得尽可能多的活动能兼容地使用公共资源。7设有n个活动的集合E={1,2,…,n}，其中每个活动都要求使用同一资源，如演讲会场等，而在同一时间内只有一个活动能使用这一资源。每个活动i都有一个要求使用该资源的起始时间si和一个结束时间fi,且si

4、,fi)与[sj,fj)不相交，则称活动i与j是相容的。即当si≥fj或sj≥fi时，活动i与活动j相容。活动安排问题就是求E的最大相容活动子集。8活动安排问题的描述用数组A分别存放所有活动的起始时间、结束时间以及是否予以安排的标记。某项活动结束时间愈早，安排其它活动的剩余区间愈大。贪心策略为尽量选择结束时间早的活动来安排。为此，将数组中的活动按结束时间的非减顺序排序，即f1≤f2≤…≤fn。显然排序需要的时间为O(nlogn)。9templatevoidGreedySelector(intn,Types[],Typef[],boolA[]){A[

5、1]=true;intj=1;for(inti=2;i<=n;i++){if(s[i]>=f[j]){A[i]=true;j=i;}elseA[i]=false;}}活动安排问题的贪心算法GreedySelector:各活动的起始时间和结束时间存储于数组s和f中且按结束时间的非减序排列10由于输入的活动以其完成时间的非减序排列，所以算法greedySelector每次总是选择具有最早完成时间的相容活动加入集合A中。算法贪心选择的意义是使剩余的可安排时间段极大化，以便安排尽可能多的相容活动。当输入的活动已按结束时间的非减序排列，算法只需O(n)的时间安排n个活动，使最多的

6、活动能相容地使用公共资源。如果所给出的活动未按非减序排列，可以用O(nlogn)的时间重排。11例：设待安排的11个活动的开始时间和结束时间按结束时间的非减序排列如下：i1234567891011S[i]130535688212f[i]4567891011121314124.1活动安排问题算法greedySelector的计算过程如左图所示。图中每行相应于算法的一次迭代。阴影长条表示的活动是已选入集合A的活动，而空白长条表示的活动是当前正在检查相容性的活动。时间13若被检查的活动i的开始时间si小于最近选择的活动j的结束时间fi，则不选择活动i，否则选择活动i加入集合A

7、中。贪心算法并不总能求得问题的整体最优解。但对于活动安排问题，greedySelector却总能求得整体的最优解，即它最终所确定的相容活动集合A的规模最大。这个结论可以用数学归纳法证明。14贪心算法也能获得最优解设活动集合E={1,2,…,n}已经按结束时间的非减顺序排列，活动1具有最早结束时间。首先，必定有一个最优解包含活动1。不然设AE是最优解且A中最早结束的活动是k。若k=1，则最优解包含活动1。若k＞1，则活动1必与A中除k以外的活动相容。令B=（A–{k}）∪{1}，则B也是一个最优解。其次，若A是原问题的包含活动1的最优解，